Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm \(M(\sqrt{15} ;-1)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Goi phương trình chính tắc của elip là }(E): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, \text { với } a>b>0 \text { . }\)
\(\begin{aligned} &\text { Elip có tiêu cự bằng } 8 \text { suy ra } 2 c=8 \Leftrightarrow c=4 \Leftrightarrow a^{2}-b^{2}=c^{2}=16\,\,(1)\\ &\text { Elip đi qua điểm } M(\sqrt{15} ;-1) \text { suy ra } \frac{(\sqrt{15})^{2}}{a^{2}}+\frac{(-1)^{2}}{b^{2}}=1 \Leftrightarrow \frac{15}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1(2) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Từ }(1),(2) \text { suy ra }\left\{\begin{array} { l } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = 1 6 } \\ { \frac { 1 5 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } = 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + 1 6 } \\ { \frac { 1 5 } { b ^ { 2 } + 1 6 } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } = 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + 1 6 } \\ { b ^ { 4 } = 1 6 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a^{2}=20 \\ b^{2}=4 \end{array}\right.\right.\right.\right. \text { . }\\ &\text { Vậy phương trình cần tìm là }(E): \frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{4}=1 . \end{aligned}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho elip chính tắc (E) có tiêu điểm F1(4;0) ) và một đỉnh là A(5;0). Phương trình chính tắc của elip (E) là:
-
Elip \((E): \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\) có tiêu cự bằng:
-
Với những giá trị nào của m thì đường thẳng \(\Delta: 4 x+3 y+m=0\) tiếp xúc với đường tròn \((C): x^{2}+y^{2}-9=0\)
-
Tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của parabol y2 = 12x
-
Elip (E) có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của (E) bằng:
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: x = –5 và điểm F(–4; 0). Cho ba điểm A(–3; 1), B(2; 8), C(0; 3). Mỗi điểm A, B, C lần lượt nằm trên loại đường conic nào nhận F là tiêu điểm và Δ là đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó?
-
Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy ?
-
Đường thẳng nào dưới đây là đường chuẩn của parabol \(y^{2}=4 x ?\)
-
Viết phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn bằng \(26\) và tỉ số \(\dfrac{c}{a}\) bằng \(\dfrac{5}{{13}}\).
-
Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thuỷ hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18). Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm.
.png)
Khi đang ở vị trí P, máy thu tín hiệu trên con tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận các tín hiệu từ A và B thành hiệu khoảng cách |PA – PB|. Giả sử thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s. Vận tốc di chuyển của tín hiệu là 3 . 108 m/s. Phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu là:
-
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1\) . Tính tâm sai của elip
-
Cho đường conic có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\) Độ dài các trục, toạ độ tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của các đường conic đó lần lượt là:
-
Một bộ thu năng lượng mặt trời để làm nóng nước được làm bằng một tấm thép không gỉ có mặt cắt hình parabol (Hình 2). Nước sẽ chảy thông qua một đường ống nằm ở tiêu điểm của parabol. Phương trình chính tắc của parabol là:
.png)
-
Cho hình vẽ các hypebol sau, hình nào của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)
-
Một elip (E) có khoảng cách giữa hai đỉnh kế tiếp nhau gấp \(\frac{3}{2}\) lần tiêu cự của nó. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng?
-
Elip đi qua các điểm \(M(0 ; 3) \text { và } N\left(3 ;-\frac{12}{5}\right)\) có phương trình chính tắc là:
-
Phương trình chính tắc của (E) có đường chuẩn x + 4 = 0 và tiêu điểm F(-1;0) là
-
Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10.
-
Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm \(M\left( {\sqrt {15} ; - \,1} \right)\).
-
Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm × 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên ván ép như hướng dẫn sau:
Chuẩn bị:
- Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.
Thực hiện:
- Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh lên hai điểm đó trên tấm ván.
- Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường elip. (xem minh họa trong Hình 15).
.png)
Phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu xentimét và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?
