Tập hợp các số thực m để phương trình \(\ln (3 x-m x+1)=\ln \left(-x^{2}+4 x-3\right)\) có nghiệm là nửa khoảng \([a ; b) .\). Tổng của a+b bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Phương trình } \ln (3 x-m x+1)=\ln \left(-x^{2}+4 x-3\right) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} -x^{2}+4 x-3>0 \\ 3 x-m x+1=-x^{2}+4 x-3 \end{array}\right. \\ &\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { 1 < x < 3 } \\ { x ^ { 2 } - x + 4 = m x } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 1<x<3 \\ m=\frac{x^{2}-x+4}{x}(*) \end{array}\right.\right. \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Xét hàm số } f(x)=\frac{x^{2}-x+4}{x} \text { với } 1<x<3 \text { . }\\ &\text { Khi đó } f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}} ; f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=2 \\ x=-2 \end{array}\right. \text { . } \end{aligned}\)
\(\text { Bảng biến thiên của hàm số } f(x)=\frac{x^{2}-x+4}{x} \text { trên khoảng }(1 ; 3)\)
Nhận xét: Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm trên khoảng (1;3) .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (*) có nghiệm trên khoảng (1;3) khi và chỉ khi \(3 \leq m<4 \text { hay } m \in[3 ; 4) \text { . Do đó } a=3, b=4 \text { . }\)
\(\text { Vậy } a+b=7 \text { . }\)
