Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tanx, y = 0, x = 0, \(x\; = \;\frac{\pi }{3}\) quanh Ox là:

Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\sin ^2}x\cos xdx\)

Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\sin ^2}x{\cos ^3}xdx\)

Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho \(\int_{1}^{5} f(x) d x=2 \text { và } \int_{1}^{5} g(x) d x=-4\). Giá trị \(\int_{1}^{5}[g(x)-f(x)] d x\)  là
 

Nếu \(\mathop \smallint \nolimits_1^2 f\left( x \right)dx = 2\) thì \(I = \mathop \smallint \nolimits_1^2 \left[ {3f\left( x \right) - 2} \right]dx\) bằng bao nhiêu?

Tính \(\displaystyle \int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}} dz\)

Cho \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin ^{2} x \tan x d x=\ln a-\frac{b}{8}\) Chọn mệnh đề đúng:
 

 Cho hàm số f x   liên tục không âm trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) , thỏa mãn \(f(x) \cdot f^{\prime}(x)=\cos x \sqrt{1+f^{2}(x)} \text { với mọi } x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) và \(f(0)=\sqrt{3}\) . Giá trị của \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\) bằng
 

Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{a^{2} x^{3}+a x}{\sqrt{a x^{2}+1}} d x, \text { vói } a \geq 0\) có giá trị là:

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\ { - 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2} \end{array}} \right.\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\frac{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx+\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}\)

Biết tích phân\(\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{3 x+1}+\sqrt{2 x+1}} \mathrm{d} x=\frac{a+b \sqrt{3}}{9} \text { với } a, b\) là các số thực. Tính tổng T=a+b

\(\begin{equation} \text { Nếu } \int_{2}^{2021} f(x) d x=12 \text { và } \int_{2020}^{2021} f(x) d x=2 \end{equation}\) \(\begin{equation} \text { thì } \int_{2}^{2020} f(x) d x \text { bằng } \end{equation}\)

Cho hàm số \(y=f(x)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{2}{x+1} & \text { khi } & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x-1 & \text { khi } & 1 \leq x \leq 3 \end{array}\right.\). Tính \(\int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x\)

Cho \(\mathop \smallint \nolimits_1^2 f\left( {{x^2} + 1} \right)xdx\; = \;2\;\). Khi đó \(\mathop \smallint \nolimits_2^5 f\left( x \right)dx\) bằng

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường \(y=x^{2} ; y=0 ; x=2\). Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H ) quanh trục Ox .
 

Biết rằng \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WG4bGaci4yaiaac+gacaGGZbGaaGOmaiaadIhacaWGKbGaamiEaiab % g2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaaisdaaaWaaeWaaeaacaWGHbGaci % 4CaiaacMgacaGGUbGaaGOmaiabgUcaRiaadkgaciGGJbGaai4Baiaa % cohacaaIYaGaey4kaSIaam4yaaGaayjkaiaawMcaaaWcbaGaaGimaa % qaaiaaigdaa0Gaey4kIipaaaa!50F5! \int\limits_0^1 {x\cos 2xdx = \frac{1}{4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right)} \) với \(a,b,c \in Z\) . Khẳng định nào sau đây đúng 

Cho tích phân \( \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\sin x}}{{cosx + 2}}d{\rm{x}} = a\ln 5 + b\ln 2\) với a,b ∈Z.  Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{3+2 x-x^{2}} d x=(a-b) \ln 2+b \ln 3\) . Giá trị a + b là

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-ln 2;ln2] và thõa mãn \(f(x)+f(-x)=\frac{1}{e^{x}+1}\)Biết \(\int\limits_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x=a \ln 2+b \ln 3, \text { vói } a, b \in \mathbb{Q}\) . Tính giá trị của P=a+b.

Biết \(\mathop \smallint \nolimits_1^8 f\left( x \right)dx =  - 2,\mathop \smallint \nolimits_1^4 f\left( x \right)dx = 3,\mathop \smallint \nolimits_1^4 g\left( x \right)dx = 7\). Mệnh đề nào sau đây sai?

Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{1} x^{5}\left(1-x^{3}\right)^{6} d x\) là