Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng \(2 \sqrt{3}\) và đi qua A(2;1).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Gọi phương trình chính tắc của elip là }(E): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \text { , với } a>b>0 \text { . }\)
\(\begin{aligned} &\text { Elip có tiêu cự bằng } 2 \sqrt{3} \text { suy ra } 2 c=2 \sqrt{3} \Leftrightarrow c=\sqrt{3} \Leftrightarrow a^{2}-b^{2}=c^{2}=3\,\,(1)\\ &\text { Elip đi qua điểm } A(2 ; 1) \text { suy ra } \frac{2^{2}}{a^{2}}+\frac{1^{2}}{b^{2}}=1 \Leftrightarrow \frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1\,\,(2) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { (2) suy ra }\left\{\begin{array} { l } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = 3 } \\ { \frac { 4 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } = 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + 3 } \\ { \frac { 4 } { b ^ { 2 } + 3 } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } = 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + 3 } \\ { b ^ { 4 } - 2 b ^ { 2 } - 3 = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a^{2}=6 \\ b^{2}=3 \end{array}\right.\right.\right.\right. \text { . }\\ &\mathrm{T} \dot{\mathrm{u}}(1)\\ &\text { Vậy phương trình cần tìm là }(E): \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1 . \end{aligned}\)
