Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng \(2\sqrt3\) và đi qua A(2;1).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi phương trình chính tắc của Elip là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\) với a > b > 0
Elip có tiêu cự bằng \(2\sqrt 3 \) suy ra \(2c = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow c = \sqrt 3 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = {c^2} = 3\) (1)
Elip đi qua điểm A(2;1) suy ra \(\frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{1^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1\) (2)
Từ (1), (2) suy ra
\(\left\{ \begin{array}{l} {a^2} - {b^2} = 3\\ \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + 3\\ \frac{4}{{{b^2} + 3}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + 3\\ {b^4} - 2{b^2} - 3 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = 6\\ {b^2} = 3 \end{array} \right..\)
Vậy phương trình cần tìm là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{6} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1.\)
