Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) và \(y = {x^4} - 2{x^2}\) trong miền \(x \ge 0.\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTrong miền \(x \ge 0\) hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm phương trình:
\(\left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
{x^4} - 2{x^2} = 2{x^2} \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
{x^2}\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)
Với \(0 \le x \le 2\) thì \(\left( {{x^4} - 2{x^2}} \right) - 2{x^2}\) \( = {x^4} - 4{x^2}\) \( = {x^2}\left( {{x^2} - 4} \right) \le 0\)
\( \Rightarrow \left| {{x^4} - 4{x^2}} \right| = 4{x^2} - {x^4}\)
\( \Rightarrow S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {{x^4} - 2{x^2}} \right) - 2{x^2}} \right|dx} \) \( = \int\limits_0^2 {\left| {{x^4} - 4{x^2}} \right|dx} \) \( = \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - {x^4}} \right)dx} \) \( = \left. {\left( {4.\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2\) \( = 4.\dfrac{8}{3} - \dfrac{{32}}{5} = \dfrac{{64}}{{15}}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Oy là
-
Cho nửa đường tròn đường kính (\(AB=4\sqrt5\) ). Trên đó người ta vẽ một parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn, trục đối xứng là đường kính vuông góc với AB. Parabol cắt nửa đường tròn tại hai điểm cách nhau 4cm và khoảng cách từ hai điểm đó đến AB bằng nhau và bằng 4cm. Sau đó người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và parabol (phần gạch chéo trong hình vẽ). Đem phần còn lại quay xung quanh trục AB. Thể tích của khối tròn xoay thu được bằng:
-
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường \(y = \cos x, y = 0, x = 0\) và \(x = {\pi \over 4}.\)
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành. -
Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là \(s(t)=-\frac{t^{2}}{10}+4 t\) với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và s(t) ( km ) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h. Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi để trứng
-
Khối tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường \(y=f(x), y=0, x=a, x=b,(a<b)\) quay quanh trục Ox có thể tích là V1 . Khối tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường \(y=-3 f(x), y=0, x=a, x=b,(a<b)\)quay quanh trục Ox có thể tích là V2 . Chọn phương án đúng.
-
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=1-\frac{1}{x^{2}}\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=\frac{1}{2}, x=2\) có diện tích là
-
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=-x^{2}-2 x+1, y=m,(m>2), x=0, x=1\). Tìm m sao cho S=48m=6
-
Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 là:
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: \(\displaystyle y = x - 1 + \frac{{\ln x}}{x},y = x - 1\) và \(\displaystyle x = e\)
-
Một vật bắt đầu chuyển động với phương trình vận tốc là \(v(t)=\frac{2 t}{t^{2}+1}\) Hỏi từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vật có gia tốc nhỏ nhất đã đi được quãng đường dài bao nhiêu?
-
Vận tốc của một vật chuyển động là \(v\left( t \right)\; = \;\frac{1}{{2{\rm{\pi }}}}\; + \;\frac{{\sin \left( {{\rm{\pi }}t} \right)\;}}{{\rm{\pi }}}\) (m/s). Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian 1,5 giây xấp xỉ bằng:
-
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = -1\) và \(x = 1\), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x( - 1 \le x \le 1)\) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \).
-
Cho hai hàm số f( x ) = - x và g( x ) = ex. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f( x ),y = g( x ) và hai đường thẳng x = 0,x = e là:
-
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^2}\), trục hoành, và hai đường thẳng \(x = - 1;x = 2\).
-
Một vật đang chuyển động đều với vận tốc \(v_{0}=15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) thì tăng tốc với gia tốc \(a(t)=t^{2}+4 t\left(m / s^{2}\right)\). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
-
Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng ( H) giới hạn bởi các đường \(y=3 x-x^{2}\) và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay khi quay (H ) quanh trục Ox bằng
-
Hình phẳng giới hạn bởi đường elip \((E): x^{2}+16 y^{2}=16\) có diện tích bằng
-
Cho hình phẳng \(A\) giới hạn bởi các đường \(y = 0, x = 4\), và \(y = \sqrt x - 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(A\) quanh trục hoành.
-
Cho hàm số \(y=(x-2)^{2}\) có đồ thị (C) , khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới
hạn bởi (C) , trục Ox , trục Oy và đường thẳng x = 3 có thể tích là -
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle {y_1} = {x^3};{y_2} = 4x\) bằng
