Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {\cos ^2}x,$ trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = \pi$

Tính thể tích vật thể có đáy là một tam giác cho bởi: $\displaystyle  y = x,y = 0$, và $\displaystyle  x = 1$. Mỗi thiết diện vuông góc với trục $\displaystyle  Ox$ là một hình vuông.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x, trục hoành, trục tung và đường  thẳng $x = 2\pi$

Cho hình phẳng $\displaystyle  R$ giới hạn bởi các đường sau đây: $\displaystyle  {y_1} = {f_1}\left( x \right).{y_2} = {f_2}\left( x \right)$ ($\displaystyle  {f_1},{f_2}$ là các hàm số liên tục trên đoạn $\displaystyle  \left[ {a;b} \right]$), $\displaystyle  x = a$ và $\displaystyle  x = b$. Hãy chỉ ra công thức sai trong việc tính diện tích hình $\displaystyle  R$.

Một vật đang chuyển động đều với vận tốc $v_{0}(m / s)$ thì bắt đầu tăng tốc với gia tốc $a(t)=v_{0} t+t^{2}\left(m / s^{2}\right)$ trong đó t là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ thời điểm vật bắt đầu tăng tốc. Biết quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 100m. Tính vận tốc ban đầu v₀ của vật.

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục $\displaystyle  Ox$ hình phẳng giới hạn bởi các đường $\displaystyle  y = \frac{1}{x}$, $\displaystyle  y = 0,x = 1$ và $\displaystyle  x = a\left( {a > 1} \right)$. 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = x, y = 1$ và $y = {{{x^2}} \over 4}$ trong miền $x \ge 0,y \le 1.$

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=-x^{2}-2 x+1, y=m,(m>2), x=0, x=1$. Tìm m sao cho S=48m=6

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi: $\displaystyle  y = {(2x + 1)^{\frac{1}{3}}},x = 0,y = 3$, quanh trục $\displaystyle  Oy$.

Một nhóm sinh viên được thực hành nghiên cứu sự chuyển động của các hạt. Nhóm đã phát hiện hạt prô-ton di chuyển trong điện trường với gia rốc $a=-\frac{20}{(1+2 t)^{2}}\left(\mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{2}\right)$ . Nhóm sinh viên đã tìm ra hàm vận tốc của hạt đó, biết khi t = 0 thì vận tốc là $v=30 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ . Biểu thức đúng là? 

Cho hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$ (C). Gọi d là phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ ${x_0} = 2$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), tiếp tuyến d và đường thẳng x = 1.

Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t ,(h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(1;1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng $h'(t) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{{t + 8}}dt$  và lúc đầu bồn không có nước. Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây xấp xỉ bằng:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=1-\frac{1}{x^{2}}$, trục Ox và hai đường thẳng $x=\frac{1}{2}, x=2$ có diện tích là

Nam và Hùng tập sút phạt, ai sút trúng gôn nhiều hơn là người thẳng cuộc. Nếu để bóng ở vị trí A thì xác suất trúng vào gôn của Nam là 0,9 còn của Hùng là 0,7. Nếu để bóng ở vị trí B thì xác suất trúng vào gôn của Nam là 0,7 còn của Hùng là 0,8. Nam và Hùng đều đá một quả ở vị trí A và một quả ở vị trí B. Xác suất để Nam thắng cuộc là:

Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x có số lượng là N(x). Biết rằng N'(x) = $\frac{{2000}}{{1 + x}}$ và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn (sau khi làm tròn) là bao nhiêu con?

Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t)=\frac{1}{120} t^{2}+\frac{58}{45} t(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$ , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng $a\left(\mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)$ (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kip A bằn 

Một vật chuyển động với vận tốc 10 (m/s) thì tăng tốc với gia tốc $a(t)=3 t+t^{2}\left(\mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)$ Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 

Thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=2 x-x^{2}, y=x$ ,  quanh trục Ox là

Quay hình phẳng GG giới hạn bởi các đường y=x³,y=1,x=0 xung quanh trục Oy. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng

Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường $x = \sqrt {2\sin 2y} ,x = 0,y = 0$ và $y = {\pi  \over 2}.$
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.