Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt {2\sin 2y} ,x = 0,y = 0\) và \(y = {\pi  \over 2}.\)
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.

Cho hình H giới hạn bởi đường cong y² + x = 0, trục Oy và hai đường thẳng y = 0,y = 1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay H  quanh trục Oy )được tính bởi:

Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị \(y=\sqrt{4-\frac{x^{2}}{4}}, y=\frac{x^{2}}{4 \sqrt{2}}\) (hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ a;b ]. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng (x=a; x=b) được tính theo công thức

Một vật bắt đầu chuyển động \(v(t)=2 t^{3}-15 t^{2}+24 t+20(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) . Hỏi trong 5 giây đầu tiên, quãng đường vật đi được cho đến khi đạt vận tốc lớn nhất là bao nhiêu? 

Cho hình phẳng \(A\) giới hạn bởi các đường \(y = 0, x = 4\), và \(y = \sqrt x  - 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(A\) quanh trục hoành.

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^2}\), trục hoành, và hai đường thẳng \(x = - 1;x = 2\).

Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là \(s(t)=-\frac{t^{2}}{10}+4 t\) với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và s(t) ( km ) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h. Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi để trứng 

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}},x = 0\) và tiếp tuyến với đường \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}}\) tại điểm có hoành độ \(\displaystyle  x = 1\), quanh trục \(\displaystyle  Oy\)

Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = -1\) và \(x = 1\), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x( - 1 \le x \le 1)\) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \).

Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=f(x), y=g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\) , như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hai hàm số f( x ) =  - x  và g( x ) = e^x. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f( x ),y = g( x ) và hai đường thẳng x = 0,x = e là:

Cho hàm số \(y=(x-2)^{2}\) có đồ thị (C) , khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới
hạn bởi (C) , trục Ox , trục Oy và đường thẳng x = 3 có thể tích là

Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(x=f(y), x=g(y)\) và hai đường thẳng \(y=a, y=b\), như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình \(x = {y^3}\), \(y = 1\), và \(x = 8\).

Một người chạy trong 1 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc là một phần của đường parabol có đỉnh \(I\left(\frac{1}{2} ; 8\right)\) và trục đối xứng song song với trục tung như hình vẽ bên. Tính quãng đường s mà người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy 

Sân trường THPT Chuyên Hà Giang có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích (S₁,S₃ ) dùng để trồng hoa, phần diện tích  (S₂,S₄ ) dùng để trồng cỏ (Diện tích được làm tròn đến hàng phần trăm). Biết kinh phí trồng hoa là (150.000 ) đồng/ (m² ), kinh phí trồng cỏ là (100.000 ) đồng/ (m² ). Hỏi cả trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).

Một vật chuyển động với vận tốc đấu là v( ) 0 ( ) m s / và có gia tốc được cho bởi công thức \(a(t)=v^{\prime}(t)=\frac{2}{t+1}\left(m / s^{2}\right)\). Vận tốc của vật sau 15 giây là \(v(15)=8 \ln 2-\log 100(m / s)\) . Tính vận tốc ban đầu của vật. 

Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ t=0(s) chuyển động thẳng với vận tốc \(v_{t}=t(5-t)(\mathrm{m} / \mathrm{s})\) . Tính quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại. 

Một vật bắt đầu chuyển động với phương trình vận tốc là \(v(t)=\frac{2 t}{t^{2}+1}\) Hỏi từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vật có gia tốc nhỏ nhất đã đi được quãng đường dài bao nhiêu?