Tính giới hạn \(B=\lim\limits _{x \rightarrow-1} \frac{\sqrt{5+4 x}-\sqrt[3]{7+6 x}}{x^{3}+x^{2}-x-1}\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(B=\lim \limits_{x \rightarrow-1} \frac{\sqrt{5+4 x}-\sqrt[3]{7+6 x}}{(x+1)^{2}(x-1)}\)
\(\text { Đặt } \mathrm{t}=\mathrm{x}+1 \text { . }\) khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt {5 + 4x} - \sqrt[3]{{7 + 6x}}}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 4t} - \sqrt[3]{{1 + 6t}}}}{{{t^2}}}}\\ { = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 4t} - (2t + 1)}}{{{t^2}}} - \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 + 6t}} - (2t + 1)}}{{{t^2}}}}\\ { = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{ - 4}}{{\sqrt {1 + 4t} + 2t + 1}} - \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{ - 8t - 12}}{{\sqrt[3]{{{{(1 + 6t)}^2}}} + (2t + 1)\sqrt[3]{{{{(1 + 6t)}^2}}} + {{(2t + 1)}^2}}} = 2} \end{array}\)
Khi đó
\(B = 2.\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{1}{{x - 1}} = 2.\frac{{ - 1}}{2} = - 1\)