Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;\,2;\, – 1} \right)\) và \(B\left( { – 3;\,0;\, – 1} \right)\). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm \(A(9 ;-3 ; 5), B(a ; b ; c)\). Gọi M , N , P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt phẳng toạ độ \((O x y),(O x z) \text { và }(O y z)\) . Biết M , N , P nằm trên đoạn AB sao cho \(A M=M N=N P=P B\) . Giá trị của tổng a + b + c là:

Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng \(\begin{aligned} &(P): 2 x+m y+3 z-5=0 \text { và } (Q): n x-8 y-6 z+2=0 \end{aligned}\). Tìm giá trị của các tham số m , n để (P) và (Q) song song?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \({\rm{A}}\left( { – 1;\;2;\;3} \right)\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):x – 2 = 0, \left( Q \right):y – z – 1 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua \({\rm{A}}\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( P \right); \left( Q \right)\).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình là \(x+y-z=0, x-2 y+3 z=4\text { và điểm } M(1 ;-2 ; 5)\). Tìm phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua điểm M đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) là:

Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt cầu \((S): x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-2 y+4 z-3=0\) và mặt phẳng \((P): 2x-2y+z=0\). Mặt phẳng (P) cắt khối cầu (S) theo một thiết diện là một hình tròn có diện tích bằng
 

Viết phương trình mặt phẳng qua \(A\left( {1;1;1} \right)\), vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y – z – 2 = 0, \left( \beta \right):x – y + z – 1 = 0\).

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm M(3;0;0), N(0;-2;0), P(0;0;1). Mặt phẳng (MNP) có phương trình:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ điểm M là giao điểm của đường thẳng  \(d:\left\{\begin{array}{l} x=1+2 t \\ y=2-t \\ z=-2-2 t \end{array}\right.\) và mặt phẳng \(x+2 y-z-9=0\)

Trong không gian với hệ trục Oxyz , mặt phẳng chứa điểm \(A(1 ; 0 ; 1) \text { và } B(-1 ; 2 ; 2)\) và song song với trục Ox có phương trình là 

Tìm tất cả các giá trị của a để hai đường thẳng sau vuông góc:

d₁: x = 1 - t, y = 1 + 2t, z = 3 + at, d₂: x = a + at, y = -1 + t, z = -2 + 2t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng \((P): 2 x-3 y+z+3=0\). Gọi M , N lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục Ox , Oz . Tính diện tích tam giác OMN 

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;-2;3). Gọi M₁, M₂, M₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0;{\rm{ }}–1;{\rm{ }}4} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = (3,2,1), \overrightarrow v = ( – 3,0,1)\) làm vectơ chỉ phương là:

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{x}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{2}\) và hai điểm \(A\left( 2;-1;1 \right);B\left( 0;1;-2 \right)\). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất

Khoảng cách từ điểm A(1; -4; 0) đến mặt phẳng \((P): 2 x-y+2 z+3=0\) bằng: 

Trong không gian Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng \((P): 8 x-4 y-8 z-11=0\) và \((Q): \sqrt{2} x-\sqrt{2} y+7=0\) là:

Cho hai mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z - 3 = 0\) và \(\left( {S'} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 2z - 2 = 0.\) Gọi (C) là giao tuyến của (S) và (S'). Viết phương trình của (C):

Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho ba điểm \(A(1 ; 2 ; 1), B(2 ;-1 ; 0), C(1 ; 1 ; 3)\). Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng \(\Delta: \frac{x-2}{-3}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}\). Tọa độ điểm M là giao điểm của \(\Delta\) với mặt phẳng \((P): x+2 y-3 z+2=0\) 

Xác định vị tí tương đối của \({{d}_{1}}:\frac{x-2}{4}=\frac{y}{-6}=\frac{z+1}{-6},{{d}_{2}}:\frac{x-7}{-6}=\frac{y-2}{-9}=\frac{z}{12}.\)