Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(a:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ – 2}};b:\frac{{x + 1}}{{ – 2}} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – y – z = 0.\) Viết phương trình của đường thẳng d song song với \(\left( P \right)\), cắt a và b lần lượt tại M và N mà \(MN = \sqrt 2 .\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo M thuộc a, N thuộc b nên gọi \(M\left( {t;t; – 2t} \right)\) và \(N\left( { – 1 – 2t’,t’, – 1 – t’} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 1 – 2t’ – t;t’ – t; – 1 – t’ + 2t} \right)\).
Do đường thẳng d song song với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\) suy ra \( – 1 – 2t’ – t – t’ + t + 1 + t’ – 2t = 0 \Leftrightarrow t = – t’\).
Khi đó \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 1 + t; – 2t; – 1 + 3t} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {14{t^2} – 8t + 2} \).
Ta có \(MN = \sqrt 2 \Leftrightarrow 14{t^2} – 8t + 2 = 2 \Leftrightarrow t = 0 \vee t = \frac{4}{7}\).
Với t = 0 thì \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 1;0; – 1} \right)\) (loại do không có đáp án thỏa mãn).
Với \(t = \frac{4}{7}\) thì \(\overrightarrow {MN} = \left( { – \frac{3}{7}; – \frac{8}{7};\frac{5}{7}} \right) = – \frac{1}{7}\left( {3;8; – 5} \right)\) và \(M\left( {\frac{4}{7};\frac{4}{7}; – \frac{8}{7}} \right)\).
Vậy \(\frac{{x – \frac{4}{7}}}{3} = \frac{{y – \frac{4}{7}}}{8} = \frac{{z + \frac{8}{7}}}{{ – 5}} \Leftrightarrow \frac{{7x – 4}}{3} = \frac{{7y – 4}}{8} = \frac{{7z + 8}}{{ – 5}}.\)
