Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét parabol (P) có phương trình chính tắc là y² = 2px (p > 0) (Hình 20).

So sánh khoảng cách MF từ điểm M đến tiêu điểm F và khoảng cách MK từ điểm M đến đường chuẩn Δ ta được kết luận:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip \((E): \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\) . Tiêu cự của (E) bằng 

Viết phương trình chính tắc của hypebol, đỉnh là A₂(4; 0) và tiêu cự bằng 10:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó a > 0, b > 0 (Hình 14).

Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc O. Vị trí các điểm M1, M2, M3 so với hypebol (H)

Tìm giao điểm 2 đường tròn \(\left(\mathrm{C}_{1}\right): \quad x^{2}+y^{2}-2=0 \quad \text { và } \quad\left(\mathrm{C}_{2}\right):x^{2}+y^{2}-2 x=0\)?

Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là \(\left( { - 3;0} \right),\left( {3;0} \right)\) và hai tiêu điểm là \(\left( { - 1;0} \right),\left( {1;0} \right)\) là: 

Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm \(M\left( {\sqrt {15} ; - \,1} \right)\).

Phương trình chính tắc của đường conic (C₂): 16x² – 4y² = 144

Viết phương trình của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6.

Một elip (E) có trục lớn dài gấp 3 lần trục nhỏ. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:

Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thuỷ hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18). Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm.

Khi đang ở vị trí P, máy thu tín hiệu trên con tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận các tín hiệu từ A và B thành hiệu khoảng cách |P_A – P_B|. Giả sử thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s. Vận tốc di chuyển của tín hiệu là 3 . 10⁸ m/s. Thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là

Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm F1 và F2. Lấy một cây thước thẳng với mép thước AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài l sao cho d – l = 2a nhỏ hơn khoảng cách F1F2 (Hình 6a). Đính một đầu dây vào đầu A của thước nhưng đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào F1, đầu B của thước trùng với F2 sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh F2 và làm tương tự như lần đầu để đầu bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường H (Hình 6c). Tính MF2 – MF1

Lập phương trình chính tắc của Elip có tâm sai \(e=\frac{\sqrt{2}}{2}\) , khoảng cách giữa hai đường chuẩn là  \(8 \sqrt{2} \text { . }\)

Tìm tọa độ giao điểm của đường tròn \(\text { (C): } x^{2}+y^{2}-2 x-2 y+1=0\) và đường thẳng \(\Delta:\left\{\begin{array}{l} x=1+t \\ y=2+2 t \end{array}\right.\)?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét parabol (P) có phương trình chính tắc y² = 2px (p > 0) (Hình 19).

Cho điểm M(x; y) nằm trên parabol (P). Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua trục Ox.  Xác định điểm M₁

Tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của elip \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm C(2;0) và elip (E) :  \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\).  Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

Cho đường conic có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\) Độ dài các trục, toạ độ tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của các đường conic đó lần lượt là:

Đường tròn \(x^{2}+y^{2}-2 x+10 y+1=0\) đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây ? 

Phương trình chính tắc của hypebol thỏa mãn đỉnh (3; 0), tiêu điểm (5; 0)

Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(6;0) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng \(\frac12\).