Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip \((E): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)\((\text { với } a>b>0) \text { có } F_{1}, F_{2}\), là các tiêu điểm và M là một điểm di động trên (E). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{array}{l} M F_{1}=a+\frac{c x}{a} ; M F_{2}=a-\frac{c x}{a} \Rightarrow M F_{1} \cdot M F_{2}=a^{2}-\frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} . \\ M(x ; y) \in(E) \Rightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ \Rightarrow y^{2}=b^{2}\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right) \Rightarrow O M^{2}=x^{2}+y^{2}=x^{2}+b^{2}\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)=x^{2}+b^{2}-\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} \\ M F_{1} \cdot M F_{2}+O M^{2}=a^{2}-\frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}}+x^{2}+b^{2}-\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}=a^{2}+b^{2}+x^{2}-\left(\frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}\right) \\ =a^{2}+b^{2}+x^{2}-\frac{\left(b^{2}+c^{2}\right) x^{2}}{a^{2}} \\ \text { Vì } a^{2}=b^{2}+c^{2} \text { nên } M F_{1} \cdot M F_{2}+O M^{2}=a^{2}+b^{2}+x^{2}-\frac{\left(b^{2}+c^{2}\right) x^{2}}{a^{2}}=a^{2}+b^{2}+x^{2}-\frac{a^{2} x^{2}}{a^{2}}=a^{2}+b^{2} \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm \(A(0 ; 4), B(3 ; 4), C(3 ; 0)\)
-
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó a > 0, b > 0 (Hình 13).
.png)
Tìm toạ độ hai tiêu điểm F1, F2 của hypebol (H)
-
Phương trình chính tắc của elip trong Hình 4 là:
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét parabol (P) có phương trình chính tắc y2 = 2px (p > 0) (Hình 19).
.png)
Toạ độ điểm H và viết phương trình đường chuẩn Δ của parabol (P) là:
-
Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) có tâm sai \( e = \frac{5}{3}\) và diện tích của hình chữ nhật cơ sở là 48 đơn vị diện tích.
-
Một elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là 80, độ dài tiêu cự là 6 . Tâm sai của elip đó là
-
Cho elip (E) có phương trình \(16 x^{2}+25 y^{2}=400\) . Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
-
Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm \(M\left( {\sqrt {15} ; - \,1} \right)\).
-
Cho elip (E) có phương trình chính tắc \( \frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\). Trong các điểm có tọa độ sau đây điểm nào là tiêu điểm của elip (E)?
-
Đường thẳng nào dưới đây là đường chuẩn của parabol \(y^{2}=4 x ?\)
-
Cho \(\left( E \right):16{x^2} + 25{y^2} = 100\) và điểm M thuộc (E) có hoành độ bằng 2. Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiêu điểm của (E) bằng
-
Cho Elip có phương trình : \(9 x^{2}+25 y^{2}=225\) . Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng
-
Lập phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm B và có tâm sai \(e=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
-
Tọa độ các tiêu điểm của phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{6^2}}} = 1\)
-
Tìm để m \(C_{m}: x^{2}+y^{2}+4 m x-2 m y+2 m+3=0\) là phương trình đường tròn.
-
Elip có hai đỉnh là \(\left( { - 3;0} \right);\;\left( {3;0} \right)\) và có hai tiêu điểm là \(\left( { - 1;0} \right);\;\left( {1;0} \right)\). Phương trình chính tắc của elip là:
-
Elip có một đỉnh là A(5;0) và có một tiêu điểm F1(-4;0). Phương trình chính tắc của elip là:
-
Phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(\left( {2;0} \right)\) là:
-
Elip có độ dài trục lớn là 10 và có một tiêu điểm \(F(-3;0)\). Phương trình chính tắc của elip là gì?
-
Cho hypebol (H): \( \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm phương trình đường chéo của hình chữ nhật tâm O có 4 đỉnh thuộc (H) sao cho hệ số góc các đường chéo là số nguyên.
