Trong tam giác ABC, biểu thức \(\sin B\cos C + \sin C\cos B\) bằng biểu thức nào dưới đây?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa chứng minh công thức: \(a = b\cos C + c\cos B\)
Thật vậy, \(\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\) \(\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)
Do đó \(b\cos C + c\cos B\) \( = b.\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + c.\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)
\( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\) \( = \dfrac{{2{a^2}}}{{2a}} = a\) nên \(a = b\cos C + c\cos B\).
Theo định lý sin ta có: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)
Do đó: \(a = 2R\sin A,b = 2R\sin B,c = 2R\sin C\).
Thay các giá trị này vào công thức \(a = b\cos C + c\cos B\) ta có:
\(2R\sin A = 2R\sin B\cos C + 2R\sin C\cos B\)
\( \Rightarrow \sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos C.\)