Xét hàm số \(\begin{equation}
f(x)=\left|x^{2}+a x+b\right|
\end{equation}\) , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số
trên [-1;3]. Khi M nhận giá trị nhỏ nhất tính \(\begin{equation}
T=a+2 b \text { . }
\end{equation}\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{equation} \begin{array}{l} \text { Ta có: } \max \{|A|,|B|\} \geq \frac{|A+B|}{2} \text { (1). Dấu = xảy ra khi } A=B \text { . }\\ \text { Ta có: } \max \{|A|,|B|\} \geq \frac{|A-B|}{2}(2) \text { . Dấu = xảy ra khi } A=-B \text { . }\\ \text { Xét hàm số } g(x)=x^{2}+a x+b \text { , có } g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=-\frac{a}{2} \text { . } \end{array} \end{equation}\)
+\(\begin{equation} \text { Trường hợp 1: }-\frac{a}{2} \notin[-1 ; 3] \Leftrightarrow a \notin[-6 ; 2] \text { . Khi đó } \mathrm{M}=\max \{|g(-1)|,|g(3)|\} =\max \{|1-a+b|,|9+3 a+b|\} \text { . } \end{equation}\)
\(\begin{equation} \text { Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có } \mathrm{M} \geq|4+2 a|>8 \text { . }\forall a\notin[-6;2] \end{equation}\)
+\(\begin{equation} \text { Trường hợp 2: }-\frac{a}{2} \in[-1 ; 3] \Leftrightarrow a \in[-6 ; 2] \text { . Khi đó } \mathrm{M}=\max \left\{|1-a+b|,|9+3 a+b|,\left|b-\frac{a^{2}}{4}\right|\right\} \text { . } \end{equation}\)
\(\begin{equation} \begin{array}{l} \text { Áp dụng bất đẳng thức (1) và (2) ta có } \mathrm{M} \geq \max \left\{|5+a+b|,\left|b-\frac{a^{2}}{4}\right|\right\} \Leftrightarrow \mathrm{M} \geq \frac{1}{8}\left|20+4 a+a^{2}\right|\\ \Leftrightarrow \mathrm{M} \geq \frac{1}{8}\left|16+(a+2)^{2}\right| \end{array} \end{equation}\)
\(\begin{equation} \text { Suy ra } \mathrm{M} \geq 2 \text { . } \end{equation}\)
Ta có: M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là M = 2 \(\left\{\begin{array} { l } { a = - 2 } \\ { 5 + a + b = \frac { - a ^ { 2 } } { 2 } - b } \\ { 1 - a + b = 9 + 3 a + b } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=-2 \\ b=-1 \end{array} .\right.\right.\)
\(\text { Vậy } a+2 b=-4 \text { . }\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { – 3;2} \right]\) và có bảng biến thiên như sau.
.png)
Gọi \(M,{\kern 1pt} \,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\). Tính \(M + {\kern 1pt} \,m\).
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt { - {x^2} + 6x - 5} \) trên đoạn [1;5] lần lượt là
-
Hàm số \(y=\left(x^{2}+2 x+3\right)\left(x^{2}+2 x-2\right)\)có giá trị lớn nhất là:
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) trên \(\left[ {1;\,2} \right]\) bằng 2. Số phần tử của S là
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = – {x^4} + 4{x^2} – 5\) trên đoạn \(\left[ { – 2;3} \right]\) bằng
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{1}{\cos x}\) trên khoảng \(\left(\frac{\pi}{2} ; \frac{3 \pi}{2}\right)\) là
-
Hàm số \(y=\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\) có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất lần lượt là:
-
Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2 \sin ^{8} x+\cos ^{4} 2 x\). Khi đó M + m bằng
-
Hàm số \(y=\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}+2 \sqrt{4-x^{2}}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ là:
-
Cho hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\). Với tham số m bằng bao nhiêu thì thỏa mãn \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \;y\; + \;\mathop {\max \;y\;}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \; = \;\frac{{16}}{3}\;\)?
-
Cho hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\) (m là tham số thực) thoả mãn \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1\;;\;2} \right]} y + \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1\;;\;2} \right]} y = \frac{{16}}{3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Hàm số \(y=\frac{x^{2}-3 x}{x+1}\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0;3] là:
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{5-4 x}\) trên đoạn [-1;1] là:
-
Hàm số \(f(x)=2 \sin x+\sin 2 x \text { trên }\left[0 ; \frac{3 \pi}{2}\right]\) có giá trị lớn nhất là M, giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó M.m bằng
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=e^{x}+4 e^{-x}+3 x\) trên đoạn [1;2] bằng
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\) là:
-
Cho hàm số y =f(x)liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn [-1; 3] như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Hàm số \(y=\sin x+\cos x\) có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất lần lượt là:
-
Cho a , b là các số thực dương thỏa mãn \(2\left(a^{2}+b^{2}\right)+a b=(a+b)(a b+2)\). Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức \(P=4\left(\frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}\right)-9\left(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}\right)\)
-
Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^{2}-\ln (1-2 x)\) trên đoạn [-2; 0] . Khi đó M + m bằng
