Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, N là điểm trên đoạn thẳng AM. Gọi D là giao điểm của CN và AB, E là giao điểm của BN và AC. Chọn khẳng định đúng nhất.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Kẻ đường thẳng đi qua A song song với BC lần lượt cắt CD và BE kéo dài tại B′ và C′.
Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC.
Vì AB′ // MC, áp dụng định lý Talet ta có: \(\frac{{AN}}{{NM}} = \frac{{AB'}}{{MC}}(1)\)
Vì AC′//BM, áp dụng định lý Talet ta có: \(\frac{{AN}}{{NM}} = \frac{{AC'}}{{BM}}(2)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{AB'}}{{MC}} = \frac{{AC'}}{{MB}}\)
Ta có M là trung điểm của BC ⇒ BM = MC ⇒ AB′ = AC′ (*)
Vì AB′ // BC, áp dụng định lý Talet ta có: \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AB'}}{{BC}}(**)\)
Vì AC′ // BC, áp dụng định lý Talet ta có: \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AC'}}{{BC}}(***)\)
Từ (*), (**) và (***) ta có:
\(\begin{array}{l} \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AB'}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AC'}}{{BC}}\\ \Rightarrow \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{CE}} \end{array}\)
Hay DE // BC
