Biết phương trình \({{\log }_{5}}\frac{2\sqrt{x}+1}{x}=2{{\log }_{3}}\left( \frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\) có nghiệm duy nhất \(x=a+b\sqrt{2}\) trong đó \(a,b\) là các số nguyên. Tính \(a+b\)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\({{\log }_{5}}\frac{2\sqrt{x}+1}{x}=2{{\log }_{3}}\left( \frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\frac{2\sqrt{x}+1}{x}=2{{\log }_{3}}\frac{x-1}{2\sqrt{x}}\)
Đk: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x - 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)
\(\begin{array}{l} {\rm{Pt}} \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2\sqrt x + 1} \right) - {\log _5}x = {\log _3}{(x - 1)^2} - {\log _3}4x\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2\sqrt x + 1} \right) + {\log _3}4x = {\log _5}x + {\log _3}{(x - 1)^2}\,\,\,\,\,(1) \end{array}\)
Đặt \(t=2\sqrt{x}+1\Rightarrow 4x={{\left( t-1 \right)}^{2}}\)
\((1)\) có dạng \({{\log }_{5}}t+{{\log }_{3}}{{(t-1)}^{2}}={{\log }_{5}}x+{{\log }_{3}}{{(x-1)}^{2}}\,\,\,\,(2)\)
Xét \(f(y)={{\log }_{5}}y+{{\log }_{3}}{{(y-1)}^{2}}\), do \(x>1\Rightarrow t>3\Rightarrow y>1\).
Xét \(y>1\): \(f'(y)=\frac{1}{y\ln 5}+\frac{1}{{{(y-1)}^{2}}\ln 3}.2(y-1)>0\)
\(\Rightarrow f(y)\) là hàm đồng biến trên miền \(\left( 1;+\infty \right)\)
\((2)\) có dạng \(f(t)=f(x)\Leftrightarrow t=x\Leftrightarrow x=2\sqrt{x}+1\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}-1=0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt x = 1 + \sqrt 2 \\ \sqrt x = 1 - \sqrt 2 \,\,\,\,({\rm{vn}}) \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3 + 2\sqrt 2 \,\,(tm)\).
Vậy \(x=3+2\sqrt{2}\,\,\).
