Biết rằng \( I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \frac{{a{e^2} + be - 12}}{{8{{(e + 2)}^2}}}\) với a, b là các số nguyên dương. Hiệu b - a bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \( I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}.\frac{{\ln x + 1}}{x}}}{{{{\left( {\frac{{\ln x + 1}}{x} + 1} \right)}^3}}}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x\)
Đặt \( t = \frac{{\ln x + 1}}{x} \Leftrightarrow {\rm{d}}t = - \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x\)
và \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \to t = 1\\ x = e \to t = \frac{2}{e} \end{array} \right.\)
Khi đó
\( I = - \int\limits_1^{\frac{2}{e}} {\frac{t}{{{{(1 + t)}^3}}}} dt = - \int\limits_1^{\frac{2}{e}} {\left[ {\frac{1}{{{{(1 + t)}^2}}} - \frac{1}{{{{(1 + t)}^3}}}} \right]dt} = \frac{{2t + 1}}{{2{{(t + 1)}^2}}}|_1^{\frac{2}{e}} = \frac{{{e^2} + 4e - 12}}{{8{{(e + 2)}^2}}}\)
Do đó a=1,b=4 hay b−a=3.
