Cho a,b,c>1 và các số thực dương x, y, z thỏa mãn \(a^{x}=b^{y}=c^{\frac{a}{2}}=\sqrt{a b c}\) . Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-z^{2}\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } a^{x}=b^{y}=c^{\frac{z}{2}}=\sqrt{a b c}=t(t>0) \\ &\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} a=t^{\frac{1}{x}} \\ b=t^{\frac{1}{y}} \\ c=t^{\frac{2}{z}} \\ a b c=t^{2} \end{array} \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}=2 \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2-\frac{2}{z} .\right. \end{aligned}\)
\(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-z^{2}=2-\frac{2}{z}-z^{2}=2-\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+z^{2}\right)\)
\(\text { Áp dụng bất đẳng thức Cô }-\text { si cho ba số dương } \frac{1}{z} ; \frac{1}{z} ; z^{2} \text { ta có: } \frac{1}{z}+\frac{1}{z}+z^{2} \geq 3 \Rightarrow P \leq-1 \text { . }\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng -1.