Cho các số phức \(z_{1}, z_{2}, z_{3}\) thoả mãn các điều kiện \(\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right|=3\). Mô đun của số phức \(z_{1}+z_{2}\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right|=3 \Leftrightarrow\left|\frac{z_{1}}{3}\right|=\left|\frac{z_{2}}{3}\right|=\left|\frac{z_{1}-z_{2}}{3}\right|=1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \frac{z_{1}}{3}=\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1} \\ \frac{z_{2}}{3}=\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2} \end{array}\right.\)
Suy ra \(\frac{z_{1}-z_{2}}{3}=\cos \varphi_{1}-\cos \varphi_{2}+i\left(\sin \varphi_{1}-\sin \varphi_{2}\right)\)
\(\left|\frac{z_{1}-z_{2}}{3}\right|=1 \Leftrightarrow\left(\cos \varphi_{1}-\cos \varphi_{2}\right)^{2}+\left(\sin \varphi_{1}-\sin \varphi_{2}\right)^{2}=1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2-2\left(\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2}+\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2}\right)=1 \\ \Leftrightarrow 1-2 \cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)=0 \Leftrightarrow \cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)=\frac{1}{2} \end{array}\)
Vậy \(\frac{z_{1}+z_{2}}{3}=\cos \varphi_{1}+\cos \varphi_{2}+i\left(\sin \varphi_{1}+\sin \varphi_{2}\right)\)
Suy ra \(\left|\frac{z_{1}+z_{2}}{3}\right|^{2}=\left(\cos \varphi_{1}+\cos \varphi_{2}\right)^{2}+\left(\sin \varphi_{1}+\sin \varphi_{2}\right)^{2}=2+2 \cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)=3\)
Vậy \(\left|z_{1}+z_{2}\right|=3 \sqrt{3}\)
Câu hỏi liên quan
-
Gọi A là điểm biểu diễn của số phức\(z=2+5 i\) và B là điểm biểu diễn của số phức \(z^{\prime}=-2+5 i\) . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Các số thực x, y thỏa mãn:\(3 x+y+5 x i=2 y-1+(x-y) i\) là:
-
Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z - i| = |(1+ i ) z|\)là một đường tròn, đường tròn đó có phương trình là
-
Cho số phức \(z=(1-6 i)-(2-4 i)\) . Phần thực, phần ảo của z lần lượt là
-
Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện \(z^{2}+(\bar{z})^{2}=0\) là
-
Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của các số phức \(z=3+b i\)với \(b\in\mathbb{R}\) luôn nằm trên đường có phương trình nào trong các phương trình sau?
-
Xét các số phức z thỏa mãn \(|z - 1 + 2i| =\sqrt5\). Tìm số phức w có mô đun lớn nhất, biết rằng w = z + 1 + i
-
Cho số phức \(z = (1+ 2i)(2 - i) \), điểm biểu diễn của số phức i.z là
-
Cho số phức z=(1+i)5 . Điểm biểu diễn số phức z nằm trong góc phần tư nào của hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng phức?
-
Phần thực của số phức \({\rm{w}} = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{1999}}\) bằng
-
Trên mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z + i| = |2\overline z - i|\)là một đường tròn có bán kính là R . Tính giá trị của R.
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2 \) và z2 là số thuần ảo
-
Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn \({\left( {1 - i} \right)^2}\left( {i - 3} \right)z = 2i - \left( {1 + 3i} \right)z\)
-
Xét các số phức \(z=x+y i(x ; y \in \mathbb{R})\) có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đường tròn có phương trình \((C):(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4\). Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức \(w=z+\bar{z}+2 i\)
-
Cho số phức \(z(2-i)+13 i=1\) . Tìm môđun của z .
-
Gọi P là điểm biểu diễn của số phức a+bi trong mặt phẳng phức.
Cho các mệnh đề sau:
(1) Môđun của a+bi là bình phương khoảng cách OP.
(2) Nếu P là biểu diễn của số 3+4i thì khoảng cách từ O đến P bằng 7.
Chọn đáp án đúng:
-
Cho số phức z = 2+i. Hãy xác định điểm biểu diễn hìnhhọc của số phức w = (1-i)z.
-
Cho số phức \(w=(1+i) z+2 \text { biết }|1+i z|=|z-2 i|\) . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 2 + 2i | = . Tìm giá trị lớn nhất của |z|
-
Cho số phức z thỏa mãn \(z(1+i)+12 i=3\). Tìm phần ảo của số phức \(\overline z\)
