Cho các số thực a, b, c>1 thỏa mãn \(\log _{2} a \geq\left(1-\log _{2} b \log _{2} c\right) \log _{b c} 2\) . Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=10 \log _{2}^{2} a+10 \log _{2}^{2} b+\log _{2}^{2} c\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện bài toán, ta có \(x=\log _{2} a, y=\log _{2} b, z=\log _{2} c \Rightarrow x, y, z>0\) .
Do đó \(z \geq \frac{1}{y+z}(1-y z) \Leftrightarrow x y+y z+z x \geq 1 \text { và } S=10\left(x^{2}+y^{2}\right)+z^{2}\)
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức ta có
\(12 x^{2}+12 y^{2}+3 z^{2}=\frac{x^{2}}{\frac{1}{12}}+\frac{y^{2}}{12}+\frac{z^{2}}{3} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{3}}=2(x+y+z)^{2}\)
Do đó \(10 x^{2}+10 y^{2}+z^{2} \geq 4(x y+y z+z x) \geq 4\)
