Cho hai số thực a b , thay đổi thoả mãn a>b>1. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=\left(\log _{a} b^{2}\right)^{2}+6\left(\log _{\frac{\sqrt{b}}{a}} \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^{2} \text { là } m+\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{p} \text { với } m, n, p\) là các số nguyên.
\(\text { Tính } T=m+n+p \text { . }\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có biến đổi đưa về cơ số là } a \text { như sau: } \log _{a} b^{2}=2 \log _{a} b \text { và }\\ &\log _{\frac{\sqrt{5}}{\pi}} \sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{1}{2} \log _{\frac{\sqrt{6}}{a} a} \frac{b}{a}=\frac{1}{2} \frac{\log _{a} \frac{b}{a}}{\log _{a} \frac{\sqrt{b}}{a}}=\frac{\log _{a} b-1}{2\left(\frac{1}{2} \log _{a} b-1\right)}=\frac{\log _{a} b-1}{\log _{a} b-2}\\ &\text { Đặt } t=\log _{a} b(0<t<1) \text { với mọi } a>b>1\\ &\text { Vậy } m=2, n=16, p=-32 \Rightarrow T=-14 \text { . } \end{aligned}\)