Cho hai số thực dương a, b nhỏ hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\log _{a}\left(\frac{4 a b}{a+4 b}\right)+\log _{b}(a b)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\frac{4 a b}{a+4 b} \leq \frac{4 a b}{2 \sqrt{a \cdot 4 b}}=\sqrt{a b}\) và cơ số \(0<a<1\) nên \(\log _{a}\left(\frac{4 a b}{a+4 b}\right) \geq \log _{a} \sqrt{a b}=\frac{1+\log _{a} b}{2}\)
Vì vậy \(P \geq \frac{3}{2}+\left(\frac{1}{2} \log _{a} b+\log _{b} a\right) \geq \frac{3}{2}+2 \sqrt{\frac{1}{2} \log _{a} b \cdot \log _{b} a}=\frac{3}{2}+\sqrt{2}=\frac{3+2 \sqrt{2}}{2}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=4 b \\ \frac{1}{2} \log _{a} b=\log _{b} a \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=4 b \\ b=a^{\sqrt{2}} \end{array}\right.\right.\)
