Cho các số thực a, b thỏa mãn 0<a<1<b,ab>1. Giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = {\log _a}ab + \frac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).{{\log }_{\frac{a}{b}}}ab}}\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{*{20}{l}} {P = {{\log }_a}ab + \frac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).{{\log }_{\frac{a}{b}}}ab}} = 1 + {{\log }_a}b + \frac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).\frac{{{{\log }_a}ab}}{{{{\log }_a}\frac{a}{b}}}}}}\\ { = 1 + {{\log }_a}b + \frac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).\frac{{1 + {{\log }_a}b}}{{1 - {{\log }_a}b}}}} = 1 + {{\log }_a}b + \frac{4}{{{{\log }_a}b + 1}}} \end{array}\)
Do0<a<1<b nên 1+logab<0. Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\( - \left( {1 + {{\log }_a}b} \right) + \frac{4}{{ - \left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}} \ge 2\sqrt {\left[ { - \left( {1 + {{\log }_a}b} \right)} \right].\frac{4}{{ - \left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}}} = 4\)
\(⇒ P ≤ − 4\)
Pmax=−4 khi và chỉ khi \( 1 + {\log _a}b = - 2 \Leftrightarrow {\log _a}b = - 3 \Leftrightarrow b = \frac{1}{{{a^3}}}\)
Chọn: B
