Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn \(f(1)=\) và \(f(x)-(x+1) f^{\prime}(x)=2 x f^{2}(x), \forall x \in[1 ; 2]\) Giá trị của \(\int_{1}^{2} f(x) d x\) bằng?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Từ giả thiết, ta có } f(x)-(x+1) f^{\prime}(x)=2 x f^{2}(x) \Rightarrow \frac{f(x)-(x+1) f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)}=2 x\\ &\Rightarrow\left[\frac{x+1}{f(x)}\right]^{\prime}=2 x \Rightarrow \frac{x+1}{f(x)}=\int 2 x d x \Rightarrow \frac{x+1}{f(x)}=x^{2}+C\\ &\text { Lại có } f(1)=2 \Rightarrow C=0 \Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}} \Rightarrow \int_{1}^{2} f(x) d x=\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x\\ &=\left.\ln x\right|_{1} ^{2}-\left.\frac{1}{x}\right|_{1} ^{2}=\frac{1}{2}+\ln 2 \end{aligned}\)
