Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy AB=q , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc \(60^o\) . Bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC), ta có H là tâm của tam giác ABC. Nên SH là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Trong tam giác SAH dựng đường trung trực Ix của cạnh SA.
Gọi \(\mathrm{O}=\mathrm{Ix} \cap \mathrm{SH}\)
\(\left\{\begin{array}{l} \mathrm{O} \in \mathrm{SH} \\ \mathrm{O} \in \mathrm{Ix} \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC} \\ \mathrm{OS}=\mathrm{OA} \end{array} \Rightarrow \mathrm{O}\right.\right.\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bán kính R=SO.
Ta có:
\(\begin{aligned} &\mathrm{SAH}=(\mathrm{SA},(\mathrm{AC}))=60^{0}, \mathrm{AH}=\frac{2}{3} \mathrm{AM}=\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \mathrm{a}}{2}=\frac{\mathrm{a} \sqrt{3}}{3}(\mathrm{M} \text { là trung điểm cạnh BC })\\ &\Rightarrow \mathrm{SH}=\mathrm{AH} \cdot \tan 60^{0}=\frac{\mathrm{a} \sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3}=\mathrm{a}, \mathrm{SA}=\frac{\mathrm{AH}}{\cos 60^{0}}=\frac{2 \sqrt{3} \mathrm{a}}{3} \end{aligned}\)
\(\text { Do } \Delta S I O^{\infty} \Delta S H A \Rightarrow \frac{S I}{S H}=\frac{S O}{S A} \Rightarrow S O=\frac{S A S I}{S H}=\frac{S A^{2}}{2 S H}=\frac{2 a}{3}\)
Vậy bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp là \(R=\frac{2 a}{3}\)
