Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và \(AB=a.\) Cạnh bên \(SA=a\sqrt{2}\), hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\) là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi M trung điểm AC, suy ra \(SM\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SM\bot AC\)
Tam giác \(SAC\) có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.
Ta có \(AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2},\) suy ra tam giác \(SAC\) đều.
Gọi G trọng tâm tam giác SAC, suy ra \(GS=GA=GC\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)
Lại có \(SM\bot \left( ABC \right)\) nên SM là trục của tam giác \(ABC.\)
Mà G thuộc SM nên suy ra \(GA=GB=GC\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\), suy ra \(GS=GA=GB=GC\) hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC.\)
Bán kính mặt cầu \(R=GS=\frac{2}{3}SM=\frac{a\sqrt{6}}{3}.\)
