Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, AB = a,AD = 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng \(a\sqrt 3 \). Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5 ,cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4 ,cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5 ,cm. Bán kính của viên billiards đó bằng

Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % thể tích hình hộp.

Cho mặt cầu tâm O bán kính R và điểm A bất kì trong không gian. Điểm A không nằm ngoài mặt cầu khi và chỉ khi:

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm O, bán kính R và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc (S). Đường thẳng OM cắt \(\left( P \right)\) tại N. Hình chiếu của O trên \(\left( P \right)\) là I. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều nằm ở đâu?

Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Ox}}yz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 18\). Đường thẳng d cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm A,B. Tính diện tích tam giác IAB.

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\bot \left( ABC \right),\,\,SA=2a\), tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\,BC=2a\sqrt{2}\), \(\cos \widehat{ACB}=\frac{1}{3}.\) Tính diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC.\)

Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là

Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a,b,c. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật đó. Diện tích của mặt cầu (S) theo a,b,c là:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y – 2z + 2 = 0\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng \(\left( d \right)\), có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với \(\left( P \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1; – 1;1} \right)\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là

Diện tích của mặt cầu có bán kính R bằng

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh \( SA = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)  . Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD 

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm I(1;2;0). Một mặt phẳng (P) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn \(\left( C \right)\) Biết diện tích lớn nhất của \(\left( C \right)\) bằng \(3\pi .\) Phương trình của \(\left( S \right)\) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25\) và hình nón \(\left( H \right)\) có đỉnh \(A\left( {3;2; – 2} \right)\) và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón \(\left( H \right)\) cắt mặt cầu tại \(M,{\rm{ }}N\) sao cho AM = 3AN. Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu \(\left( S \right)\) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \(\left( H \right)\).

Hình lập phương có mấy mặt cầu ngoại tiếp?

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z – {m^2} – 3m = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 9\). Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\).

Một cái ly có dạng hình nón như sau

Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của lượng nước bằng 1/2 chiều cao của ly (tính từ đỉnh nón đến miệng ly). Nếu bịt kín miệng ly rồi lộn ngược ly lên thì tỷ lệ chiều cao của nước và chiều cao của ly bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {0\,;\, – 1\,;\,3} \right),B\left( { – 2\,;\, – 8\,;\, – 4} \right), C\left( {2\,;\, – 1\,;\,1} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 14\). Gọi \(M\left( {{x_M}\,;\,{y_M}\,;\,{z_M}} \right)\) là điểm trên \(\left( S \right)\) sao cho biểu thức \(\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(P = {x_M} + {y_M}\).

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(ABC\) và \(ABD\) là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) theo \(a.\)

Cho hình chóp đều S.ABC có \(AB=a\), \(SB=2a\). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: