Cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 6z - 5 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,x - 2y + 2z + 3 = 0\). Viết phương trình mặt cầu (S’) có bán kính nhỏ nhất chứa giao tuyến (C) của (S) và (P).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\left( {S'} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 6z - 5 + m\left( {x - 2y + 2z + 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {S'} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + \left( {m + 2} \right)x - 2\left( {m + 1} \right)y + 2\left( {m + 3} \right)z + 3m - 5 = 0\)
(S') có bán kính nhỏ nhất ⇔ tâm \(H\left( { - \frac{{m + 2}}{2},m + 1, - m - 3} \right) \in \left( P \right)\)
\( \Leftrightarrow - \frac{{m + 2}}{2} - 2\left( {m + 1} \right) + 2\left( { - m - 3} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{4}{3}\)
Vậy \(\left( {S'} \right):{x^2} + {y^2} + = {z^2} + \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}y + \frac{{10}}{3}z - 9 = 0\)