Cho mặt cầu tâm (O ) bán kính (R ). Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón (N ) có đỉnh (S ) nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao h (h > R ). Tìm (h ) để thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) có giá trị lớn nhất.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Ta có: Gọi bán kính (C) với tâm là I là r thì dễ có S phải thuộc OI và :
\(\begin{array}{*{20}{l}} {OI = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \to h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} + R}\\ {V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R)} \end{array}\)
Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số:
\(\begin{array}{l} f(r) = {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R) = {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R\\ \Rightarrow f\prime (r) = ({r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R)\prime = ({r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} )\prime + ({r^2}R)\prime \\ = ({r^2})\prime \sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} )\prime + 2rR\\ = 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}\frac{{ - 2r}}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR = 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^3}}}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\\ = r\left( {2\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^2}}}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2R} \right)\\ f'(r) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{R^2} - {r^2}} + 2{\rm{R}} - \frac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 2({R^2} - {r^2}) - {r^2} + 2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} = 0\\ \Leftrightarrow {(2{{\rm{R}}^2} - 3{{\rm{r}}^2})^2} = {(2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} )^2}\\ \Leftrightarrow {r^2} = \frac{8}{9}{R^2} \to h = \frac{{4{\rm{R}}}}{3}. \end{array}\)
