Cho số phức z thoả mãn \(|z-3-4 i|=\sqrt{5}\) . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P=|z+2|^{2}-|z-i|^{2}\). Tính môđun của số phức
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } z=x+y i \text { . Ta có } P=(x+2)^{2}+y^{2}-\left[x^{2}+(y-1)^{2}\right]=4 x+2 y+3\\ &\text { Mặt khác }|z-3-4 i|=\sqrt{5} \Leftrightarrow(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=5 \text { . }\\ &\text { Đặt } x=3+\sqrt{5} \sin t, y=4+\sqrt{5} \cos t\\ &\text { Suy ra } P=4 \sqrt{5} \sin t+2 \sqrt{5} \cos t+23 \text { . }\\ &\text { Ta có }-10 \leq 4 \sqrt{5} \sin t+2 \sqrt{5} \cos t \leq 10 \text { . }\\ &\text { Do đó } 13 \leq P \leq 33 \Rightarrow M=33, m=13 \Rightarrow|w|=\sqrt{33^{2}+13^{2}}=\sqrt{1258} \text { . } \end{aligned}\)