Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi \(m \in S\) có đúng một số phức thỏa mãn \(\left| {z – m} \right| = 6\) và \(\frac{z}{{z – 4}}\) là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập .
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi z = x + iy với \(x,y \in \mathbb{R}\) ta có \(\frac{z}{{z – 4}} = \frac{{x + iy}}{{x – 4 + iy}} = \frac{{\left( {x + iy} \right)\left( {x – 4 – iy} \right)}}{{{{\left( {x – 4} \right)}^2} + {y^2}}} = \frac{{x\left( {x – 4} \right) + {y^2} – 4iy}}{{{{\left( {x – 4} \right)}^2} + {y^2}}}\)
là số thuần ảo khi \(x\left( {x – 4} \right) + {y^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} = 4\)
Mà \(\left| {z – m} \right| = 6 \Leftrightarrow {\left( {x – m} \right)^2} + {y^2} = 36\)
Ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – m} \right)^2} + {y^2} = 36\\{\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {4 – 2m} \right)x = 36 – {m^2}\\{y^2} = 4 – {\left( {x – 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}}\\{y^2} = 4 – {\left( {\frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2} \right)^2}\end{array} \right.\)
Ycbt \( \Leftrightarrow 4 – {\left( {\frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 2 = \frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2\) hoặc \( – 2 = \frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2\)
\( \Leftrightarrow m = 10\) hoặc m = – 2 hoặc \(m = \pm 6\)
Vậy tổng là 10 – 2 + 6 – 6 = 8
