Cho hai số phức \({z_1}\) và \({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 3,\left| {{z_2}} \right| = 4,\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt {37} \). Hỏi có bao nhiêu số phức z mà \(z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = x + yi\)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \({z_1} = a + bi,{z_2} = c + di,\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\).
Theo giả thiết:
\(\left| {{z_1}} \right| = 3 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 9\) (1).
\(\left| {{z_2}} \right| = 4 \Leftrightarrow {c^2} + {d^2} = 16\) (2).
\(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt {37} \)
\( \Leftrightarrow {\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – d} \right)^2} = 37\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} – 2ac – 2bd = 37\)
\( \Leftrightarrow ac + bd = – 6\)
Mặt khác \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c – di} \right)}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{\left( {bc – ad} \right)}}{{{c^2} + {d^2}}}.i = \frac{{ – 6}}{{16}} + yi = \frac{{ – 3}}{8} + yi\)
Do đó \(x = – \frac{3}{8}\)
Hơn thế nữa \(\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} = \frac{3}{4} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
\( \Leftrightarrow \frac{3}{4} = \sqrt {{{\left( { – \frac{3}{8}} \right)}^2} + {y^2}} \)
\( \Leftrightarrow {y^2} = \frac{{27}}{{64}}\)
\( \Leftrightarrow y = \pm \frac{{3\sqrt 3 }}{8}\)
Vậy có 2 số phức thỏa đề là \(z = – \frac{3}{8} + \frac{{3\sqrt 3 }}{8}i,z = – \frac{3}{8} – \frac{{3\sqrt 3 }}{8}i\)
