Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - 3{m^2} - 1\) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ Đạo hàm y’ = - 3x2+ 6x+ 3(m2-1) = - 3(x2- 2x - m2+1).
Đặt g( x) = x2 - 2x - m2+1 là tam thức bậc hai có
+ Do đó hàm số đã cho có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi y’ =0 có hai nghiệm phân biệt hay g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow m \ne 0\) (1)
+ Khi đó y’ có các nghiệm là: 1 ± m
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 1-m ; -2-2m3) và B( 1+m ; -2+ 2m3).
Ta có:
Để A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi OA = OB hay OA2 = OB2
\(\begin{array}{l}
{\left( {1 - m} \right)^2} + 4{\left( {1 + {m^3}} \right)^2} = {\left( {1 + m} \right)^2} + 4{\left( {1 - {m^3}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow - 4m + 16{m^3} = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = \pm \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu hỏi liên quan
-
Số điểm cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right) = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^4} + \frac{1}{3}{{\rm{x}}^2} - 2\) là
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\left|x^{3}-3 x^{2}+m\right|\) có 5 điểm cực trị.
-
Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
-
Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x³ - 3x + 2.
-
Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: \(y=x^{4}-2 m^{2} x^{2}+1\) có ba điểm cực trị là ba
đỉnh của một tam giác vuông cân? -
Giá trị cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 5\) là
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Phát biểu nào sau đây đúng?
-
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = x{\left( {x + 5} \right)^2}\). Điểm cực tiểu của hàm số là
-
Điểm cực đại của hàm số \(y = 3{x^4} + 2{x^2} - 1\) là:
-
Điểm cực tiểu \(y = - {x^4} + {x^2} + 3\) của hàm số là:
-
Tìm giá trị cực đại của hàm số \(y=x^{4}-2 x^{2}+2\)
-
Hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = {\left( {5 - x} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^3}\left( {3 + x} \right)\). Số điểm cực trị của hàm số là:
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu?
-
Cho hàm số \(y=x^{7}-x^{5}\). Khẳng định nào sau đây là đúng
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số \(y=-x^{3}+3 m x+1 \text { có }\) điểm cực trị , B sao cho tam giác OAB vuông tại O ( với O là gốc tọa độ).
-
Điểm cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 4\) là:
-
Điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - 4{x^2} + 1\) là:
-
Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số \(y=-x^{4}+2 x^{2}-5\)
-
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){x^3}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {3x - 1} \right)\). Điểm cực tiểu của hàm số là
