Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \([-2020 ; 2020]\) bao cho hàm số \(f(x)=(m-1) x^{3}+(m-1) x^{2}+(2 m+1) x+3 m-1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) ?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Tập xác định: } D=\mathbb{R} \text { . }\\ \text { Ta có: } f^{\prime}(x)=3(m-1) x^{2}+2(m-1) x+2 m+1 \end{array}\)
\(\text { Để hàm số đã cho đồng biến trên } \mathbb{R} \text { thì } f^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}(*)\)
\(\begin{array}{l} \text { ( Dấu " }=\text { " xảy ra tại hữu hạn } x \in \mathbb{R} \text { ) } \\ \text { TH1: } m-1=0 \Leftrightarrow m=1 \end{array}\)
\(\text { Ta có : } f^{\prime}(x)=3>0, \forall x \in \mathbb{R} \text { nên hàm số đồng biến trên } \mathbb{R} \Rightarrow m=1 \text { (nhận). }\)
\(\begin{array}{l} \mathrm{TH} 2: m \neq 1\\ \text { Để hàm số đã cho đồng biến trên } \mathbb{R} \text { thì } f^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \end{array}\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { 3 ( m - 1 ) > 0 } \\ { ( m - 1 ) ^ { 2 } - 3 ( m - 1 ) ( 2 m + 1 ) \leq 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { m > 1 } \\ { ( m - 1 ) ( - 5 m - 4 ) \leq 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m>1 \\ m \leq-\frac{4}{5} \vee m \geq 1 \end{array} \Leftrightarrow m>1\right.\right.\right.\)
\(\text { Kết hợp } 2 \mathrm{TH} \Rightarrow m \geq 1\)
Mà \(m \in[-2020 ; 2020]\)\(m \in\{1 ; 2 ; . . ; 2020\}\)
Vậy có 2020 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.