Hình phẳng giới hạn bởi đường elip \((E): x^{2}+16 y^{2}=16\) có diện tích bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Ta có
\(x^2+16y^2=16\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}\)
Khi đó
\(S=4 \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{16-x^{2}} \mathrm{~d} x}{4}=\int_{0}^{4} \sqrt{16-x^{2}} \mathrm{~d} x\)
Đặt \(x=4 \sin \mathrm{t}, \mathrm{t} \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] \Rightarrow \mathrm{d} x=4 \cos \mathrm{tdt}\)
Đổi cận \(x=0 \Rightarrow \mathrm{t}=0 ; x=4 \Rightarrow \mathrm{t}=\frac{\pi}{2}\)
Khi đó
\(S=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{16-16 \sin ^{2} t} \cdot 4 \cos t \mathrm{dt}=16 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} \mathrm{tdt}=8 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2 \mathrm{t}) \mathrm{dt}=\left.8\left(\mathrm{t}+\frac{1}{2} \sin 2 \mathrm{t}\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=4 \pi\)
Câu hỏi liên quan
-
Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = \cos x{\rm{ }};x = 0;x = \pi \) và quay quanh trục Ox.
-
Thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=2 x-x^{2}, y=x\) , quanh trục Ox là
-
Quay hình phẳng G giới hạn bởi các đường y=x3,y=1,x=0 xung quanh trục Oy. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng:
-
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x=g(y)\), trục tung và hai đường thẳng \(y=a, y=b\) , như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: \(\displaystyle y = {x^3} - 1\) và tiếp tuyến với \(\displaystyle y = {x^3} - 1\) tại điểm \(\displaystyle \left( { - 1; - 2} \right)\).
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 3\)
-
Cho hình H giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y) , trục tung và hai đường thẳng y = a,y = b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục Oy là:
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 4\), \(y = - {x^2} - 2x\) và đường thẳng \(x = - 3,x = - 2\)
-
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f( x ) = x^2 - 1\), trục hoành và hai đường thẳng x = - 1; x = - 3 là:
-
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=1-x^{2}, y=0\) quanh trục Ox có kết quả dạng \(\frac{a \pi}{b} ;(a ; b \in \mathbb{Z}) ; \frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khi đó a + b có kết quả là:
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình \(x = {y^3}\), \(y = 1\), và \(x = 8\).
-
Cho hàm số \(y=f( x ) ,y=g( x )\) liên tục trên [ a;b ]. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y=f( x ), y=g( x) và các đường thẳng x=a, x=b. Diện tích H được tính theo công thức
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {\cos ^2}x,\) trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = \pi \)
-
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=-x^{2}-2 x+1, y=m,(m>2), x=0, x=1\). Tìm m sao cho S=48m=6
-
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h ) có đồ thị của vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I ( 2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó.
-
Cho hình phẳng \(\displaystyle H\) giới hạn bởi các đường \(\displaystyle y = f\left( x \right)\), \(\displaystyle y = 0\), \(\displaystyle x = b\) và \(\displaystyle x = a\) (trong đó hàm số \(\displaystyle f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\displaystyle \left[ {b;a} \right]\)). Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi phép quay hình \(\displaystyle H\) quanh trục \(\displaystyle Ox\) được cho bởi công thức:
-
Sân trường THPT Chuyên Hà Giang có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích (S1,S3 ) dùng để trồng hoa, phần diện tích (S2,S4 ) dùng để trồng cỏ (Diện tích được làm tròn đến hàng phần trăm). Biết kinh phí trồng hoa là (150.000 ) đồng/ (m2 ), kinh phí trồng cỏ là (100.000 ) đồng/ (m2 ). Hỏi cả trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).
-
Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là
-
Cho hình phẳng H giới hạn bởi \(y= {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2}}\) và Ox. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay H quanh Ox bằng :
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng \(x=0 , x=\pi \) đồ thị hàm số y=cos x và trục Ox là
