Nhà của ba bạn A,B,C nằm ở ba vị trí tạo thành một tam giác vuông tại B như hình vẽ, biết AB =10 kmkmBC =25km,  và ba bạn tổ chức họp mặt tại nhà bạn C. Bạn B hẹn chở bạn A tại vị trí M trên đoạn đường BC. Giả sử luôn có xe buýt đi thẳng từ A đến M. Từ nhà bạn A đi xe buýt thẳng đến điểm hẹn M với tốc độ 30km/h và từ M hai bạn A,B di chuyển đến nhà bạn C theo đoạn đường MC bằng xe máy với vận tốc 50km/h . Hỏi 5MB+3MC bằng bao nhiêu km để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất?

Đặt BM = x; 0<x < 25

Ta có: \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyqaiaad2 % eacqGH9aqpdaGcaaqaaiaaigdacaaIWaGaaGimaiabgUcaRiaadIha % daahaaWcbeqaaiaaikdaaaaabeaakiaacUdacaqGGaGaamytaiaado % eacqGH9aqpcaaIYaGaaGynaiabgkHiTiaadIhaaaa!446D! AM = \sqrt {100 + {x^2}} ;{\rm{ }}MC = 25 - x\)

Thời gian bạn A đi từ nhà đến nhà bạn C là: \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamivaiabg2 % da9maalaaabaWaaOaaaeaacaaIXaGaaGimaiaaicdacqGHRaWkcaWG % 4bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaqabaaakeaacaaIZaGaaGimaaaacq % GHRaWkdaWcaaqaamaabmaabaGaaGOmaiaaiwdacqGHsislcaWG4baa % caGLOaGaayzkaaaabaGaaGynaiaaicdaaaaaaa!4527! T = \frac{{\sqrt {100 + {x^2}} }}{{30}} + \frac{{\left( {25 - x} \right)}}{{50}}\)

Xét hàm số \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzamaabm % aabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maalaaabaWaaOaaaeaa % caaIXaGaaGimaiaaicdacqGHRaWkcaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIYa % aaaaqabaaakeaacaaIZaGaaGimaaaacqGHRaWkdaWcaaqaamaabmaa % baGaaGOmaiaaiwdacqGHsislcaWG4baacaGLOaGaayzkaaaabaGaaG % ynaiaaicdaaaaaaa!47BF! f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {100 + {x^2}} }}{{30}} + \frac{{\left( {25 - x} \right)}}{{50}}\), với 0 < x < 25.

Ta có \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacE % cadaqadaqaaiaadIhaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpdaWcaaqaaiaa % igdaaeaacaaIZaGaaGimaaaadaWcaaqaaiaadIhaaeaadaGcaaqaai % aaigdacaaIWaGaaGimaiabgUcaRiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikda % aaaabeaaaaGccqGHsisldaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaI1aGaaGimaa % aaaaa!460A! f'\left( x \right) = \frac{1}{{30}}\frac{x}{{\sqrt {100 + {x^2}} }} - \frac{1}{{50}}\)

\(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacE % cadaqadaqaaiaadIhaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaaIWaGaeyi1 % HSTaamiEaiabg2da9maalaaabaGaaGymaiaaiwdaaeaacaaIYaaaaa % aa!41D8! f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{15}}{2}\) (do x > 0 ).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaiabg2 % da9maalaaabaGaaGymaiaaiwdaaeaacaaIYaaaaaaa!39A0! x = \frac{{15}}{2}\)

Do đó \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGynaiaad2 % eacaWGcbGaey4kaSIaaG4maiaad2eacaWGdbGaeyypa0JaaGynaiaa % c6cadaWcaaqaaiaaigdacaaI1aaabaGaaGOmaaaacqGHRaWkcaaIZa % GaaiOlamaalaaabaGaaG4maiaaiwdaaeaacaaIYaaaaiabg2da9iaa % iMdacaaIWaaaaa!46C1! 5MB + 3MC = 5.\frac{{15}}{2} + 3.\frac{{35}}{2} = 90\)

là x = -2 và x =2.