Tập nghiệm của bất phương trình \(\log _{x}(125 x) \cdot \log _{25} x \geq \frac{3}{2}+\log _{5}^{2} x\) là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(0<x \neq 1 \quad(*)\)
Ta có:
\(\log _{x}(125 x) \cdot \log _{25} x>\frac{3}{2}+\log _{5}^{2} x \Leftrightarrow\left(\log _{x} 5^{3}+\log _{x} x\right) \cdot \log _{5^{2}} x>\frac{3}{2}+\log _{5}^{2} x\)
\(\Leftrightarrow\left(3 \log _{x} 5+1\right) \cdot\left(\frac{1}{2} \log _{5} x\right)>\frac{3}{2}+\log _{5}^{2} x \Leftrightarrow \frac{3}{2}+\frac{1}{2} \log _{5} x>\frac{3}{2}+\log _{5}^{2} x\)
\(\Leftrightarrow 2 \log _{5}^{2} x-\log _{5} x<0\)
đặt \(t=log_5x, t\in\mathbb{R}\) thì bất phương trình trở thành:
\(2{t^2} - t < 0 \Leftrightarrow 0 < t < \frac{1}{2} \Rightarrow 0 < {\log _5}x < \frac{1}{2} \Leftrightarrow {5^0} < x < {5^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow 1 < x < \sqrt 5 \)