Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \((\sqrt{3}-\sqrt{2})^{x}+(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{x}-2 m=0\) có nghiệm thuộc nửa khoảng (0;1]?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\left(\frac{1}{9}\right)^{x}-2\left(\frac{1}{3}\right)^{x}+m-1=0 \Leftrightarrow\left(\frac{1}{3}\right)^{2 x}-2\left(\frac{1}{3}\right)^{x}+m-1=0(*)\)
\(\text { Đặt } t=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \geq 0\)
Phương trình trở thành \(\tau^{2}-2 t+m-1=0(* *)\)
Phương trình (*) có nghiệm \(0<x \leq 1 \)
\(\Leftrightarrow(* *) \text { có nghiệm } \frac{1}{3} \leq t<1\)
\((* *) \Leftrightarrow-t^{2}+2 t+1=m(* * *)\)
Xét hàm số \(f(t)=-t^{2}+2 t+1 \text { vói } \frac{1}{3} \leq t<1\)
\(f^{\prime}(t)=-2 t+2, \text { cho } f^{\prime}(t)=0 \Rightarrow t=1\)
Lập bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta suy ra \(\frac{14}{9} \leq m<2\)