Trong không gian, cho tam giác OAB cân ở O có \(O A=O B=5 ; \tan \widehat{A O B}=\frac{4}{3}\) . Điểm C di động trên tia Oz vuông góc (OAB) , gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Khi C di động trên tia Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O, tia Ox trùng tia OA, tia Oy nằm trong mặt phẳng (OAB) sao cho tia OB nằm giữa hai tia Ox Oy , như hình vẽ. Khi đó \(A(5 ; 0 ; 0) \text { và } B(3 ; 4 ; 0)\)
Giả sử \(C(0 ; 0 ; c)\) . Dễ thấy tam giác ABC cân tại C .
Gọi \(E=(4 ; 2 ; 0)\) là trung điểm của AB . Ta có mặt phẳng (OCE) vuông góc với AB và là mặt phẳng cố định.
Gọi K là trực tâm tam giácOAB, do A, B và K cùng nằm trong mặt phẳng (Oxy)
Giả sử \(K(x ; y ; 0), \text { ta có }\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{O K} \cdot \overrightarrow{A B}=0 \\ \overrightarrow{B K} \cdot \overrightarrow{O A}=0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x \cdot(-2)+y \cdot 4=0 \\ x-3=0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=3 \\ y=\frac{3}{2} \cdot \text { Tìm được } K=\left(3 ; \frac{3}{2} ; 0\right) \end{array}\right.\right.\right.\)
\(\text { Do }\left\{\begin{array}{l} A B \perp(O E C) \\ C A \perp(B H K) \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} H K \perp A B \\ H K \perp C A \end{array} \Rightarrow K H \perp(C A B) \Rightarrow K H \perp H E \Rightarrow \widehat{K H E}=90^{\circ}\right.\right.\)
Do đó H thuộc mặt cầu đường kính \(K E \equiv \sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\) và thuộc mặt phẳng (OCE) cố định.
Vậy H luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính \(R=\frac{\sqrt{5}}{4}\)