Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 36\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\left( {2;1;3} \right)\), vuông góc với đường thẳng d và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thằng \(\Delta \) có một véctơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;a;b} \right)\). Tính a + b.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(\left( \alpha \right)\)là mặt phẳng đi qua A và vuông góc d. Suy ra \(\left( \alpha \right):2x + 2y – z – 3 = 0\).
\(\Delta \) đi qua A và vuông với d nên \(\Delta \)nằm trong \(\left( \alpha \right)\).
Vì \(\Delta \) cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất nên \(\Delta \) đi qua tâm K của đường tròn giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( S \right)\).
Ta có: K là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu lên \(\left( \alpha \right)\) nên \(K\left( {\frac{{23}}{9};\frac{{14}}{9};\frac{{47}}{9}} \right)\).
Khi đó: \(\overrightarrow {AK} = \left( {\frac{5}{9};\frac{5}{9};\frac{{20}}{9}} \right) \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {1;1;4} \right)\).