Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(M\left( {2;2;\, – 3} \right)\) và \(N\left( { – 4;\,2;\,1} \right)\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua M, nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) làm vectơ chỉ phương và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + z = 0\) sao cho khoảng cách từ N đến \(\Delta \) đạt giá trị nhỏ nhất. Biết \(\left| a \right|, \left| b \right|\) là hai số nguyên tố cùng nhau. Khi đó \(\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|\) bằng:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\left( {2;2;\, – 3} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Suy ra \(\left( Q \right):2x + y + z – 3 = 0\).
Do \(\Delta {\rm{ // }}\left( P \right)\) nên \(\Delta \subset \left( Q \right)\).
\(d\left( {N,\Delta } \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \Delta \) đi qua N’, với N’ là hình chiếu của N lên \(\left( Q \right)\).
Gọi d là đường thẳng đi qua N và vuông góc \(\left( P \right), d:\left\{ \begin{array}{l}x = – 4 + 2t\\y = 2 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
Ta có \(N’ \in d \Rightarrow N’\left( { – 4 + 2t;2 + t;1 + t} \right); N’ \in \left( Q \right) \Rightarrow t = \frac{4}{3} \Rightarrow N’\left( { – \frac{4}{3};\frac{{10}}{3};\frac{7}{3}} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) cùng phương \(\overrightarrow {MN’} = \left( { – \frac{{10}}{3};\frac{4}{3};\frac{{16}}{3}} \right)\).
Do \(\left| a \right|, \left| b \right|\) nguyên tố cùng nhau nên chọn \(\overrightarrow u = \left( { – 5;2;8} \right)\).
Vậy \(\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right| = 15\)