Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng \(\Delta_{1}: \frac{x-4}{3}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+5}{-2}\) và \(\Delta_{2}: \frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{z}{1}\). Giả sử \(M \in \Delta_{1}, N \in \Delta_{2}\) sao cho MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(\Delta_{1} \text { và } \Delta_{2} . \text { Tính } \overrightarrow {M N}\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\Delta_{1} \text { có VTCP } \vec{u}_{1}=(3 ;-1 ;-2) \text { và } \Delta_{2} \text { có VTCP } \overrightarrow{u_{2}}=(1 ; 3 ; 1)\)
\(M\in \Delta _1\Rightarrow M(4+3 t ; 1-t ;-5-2 t) \text { và } N\in \Delta _2\Rightarrow N(2+s ;-3+3 s ; s)\)
Suy ra \(\overrightarrow{M N}=(-2-3 t+s ; t+3 s-4 ; 2 t+s+5)\)
Ta có:
\(\left\{\begin{array}{l} \overline{M N} \overrightarrow{u_{1}}=0 \\ \overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{u_{2}}=0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 2 s-t-3=0 \\ s-8 t-9=0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} s=1 \\ t=-1 \end{array}\right.\right.\right.\)
Vậy \(\overrightarrow{M N}=(2 ;-2 ; 4)\).