Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , \(B(3 ; 0 ; 8), D(-5 ;-4 ; 0)\). Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó \(|\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}|\) bằng:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có trung điểm } B D \text { là } I(-1 ;-2 ; 4), B D=12 \text { và điểm } A \text { thuộc mặt phẳng }(O x y) \text { nên } A(a ; b ; 0) \text { . }\)
\(A B C D \text { là hình vuông } \Rightarrow\left\{\begin{array} { l } { A B ^ { 2 } = A D ^ { 2 } } \\ { A I ^ { 2 } = ( \frac { 1 } { 2 } B D ) ^ { 2 } } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} (a-3)^{2}+b^{2}+8^{2}=(a+5)^{2}+(b+4)^{2} \\ (a+1)^{2}+(b+2)^{2}+4^{2}=36 \end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { b = 4 - 2 a } \\ { ( a + 1 ) ^ { 2 } + ( 6 - 2 a ) ^ { 2 } = 2 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { a = 1 } \\ { b = 2 } \end{array} \text { hoặc } \left\{\begin{array}{l} a=\frac{17}{5} \\ b=\frac{-14}{5} \end{array} \Rightarrow \mathrm{A}(1 ; 2 ; 0) \text { hoặc } A\left(\frac{17}{5} ; \frac{-14}{5} ; 0\right)\right.\right.\right. \text { (loại). }\)
\(\text { Với } A(1 ; 2 ; 0) \Rightarrow C(-3 ;-6 ; 8) \text { . }\)
\(\begin{aligned} &\overrightarrow{C A}(4 ; 8 ;-8) \\ &\overrightarrow{C B}(6 ; 6 ; 0) \\ &\Rightarrow|\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}|=\sqrt{10^{2}+14^{2}+(-8)^{2}}=6 \sqrt{10} \end{aligned}\)