Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ \(\vec{u}=(1 ; 1 ;-2), \vec{v}=(1 ; 0 ; m)\). Tìm m để góc giữa hai vectơ \(\vec{u}, \vec{v}\) bằng 45o?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\cos (\widehat{\vec{u}, \vec{v}})=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot|\vec{v}|}=\frac{1-2 m}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-2)^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+m^{2}}}=\frac{1-2 m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1+m^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\begin{aligned} &\Leftrightarrow 1-2 m=\sqrt{3} \sqrt{1-m^{2}}\\ &\Leftrightarrow 4 m^{2}-4 m+1=3+3 m^{2}\left(\text { điều kiện } m<\frac{1}{2}\right)\\ &\Leftrightarrow m^{2}-4 m-2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m=2-\sqrt{6} \\ m=2+\sqrt{6} \end{array} \right. \text { . } \end{aligned}\)
Đối chiếu đk ta có \(m=2-\sqrt{6}\)