Xác định tọa độ trực tâm tam giác ABC biết A(1;0;0), B(0;0;1) và C(2;1;1).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC, ta có hệ
\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AH} \text{ đồng phẳng}\hfill \cr} \right. \cr & \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0. \hfill \cr} \right.\)
Ta có :
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AH} = (x - 1;y;z),\overrightarrow {BC} = (2;1;0),\cr&\overrightarrow {BH} = (x;y;z - 1), \cr & \overrightarrow {AB} = ( - 1;0;1),\overrightarrow {AC} = (1;1;1) \cr & \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 1;2; - 1),\cr&\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 1 - x + 2y - z. \cr} \)
Vậy ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \matrix{ 2x - 2 + y = 0 \hfill \cr x + y + z - 1 = 0 \hfill \cr 1 - x + 2y - z = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x + y = 2 \hfill \cr x + y + z = 1 \hfill \cr x - 2y + z = 1 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H(1;0;0).\)