Biết \(f(x)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(x)dx = 4} \). Khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right]} dx\) bằng:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) - \sin x} \right]} dx = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( {2x} \right)} dx - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin x} dx = I - J\)
Tính \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( {2x} \right)dx} \).
Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\)\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( t \right).\dfrac{{dt}}{2}} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{2}.4 = 2\).
Tính \(J = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin x} dx = - \left. {\cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = - \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} - 1} \right) = 1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(I - J = 2 - \left( {1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) hay \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) - \sin x} \right]} dx = 1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn D
Đề thi HK2 môn Toán 12 năm 2021-2022
Trường THPT Ngô Gia Tự
