Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang cân với \(AB//CD\), \(AB = 2a,AD = CD = a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống mặt đáy là trung điểm của \(AC\). Biết góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(45^\circ \), tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(H\) là trung điểm \(AC\). Theo giả thiết thì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Do \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc tạo bởi \(SC\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) và góc giữa \(SC\) và \(CH\). Do đó \(\widehat {SCH} = 45^\circ \)
Qua \(C\) kẻ \(CK \bot AB\left( {K \in AB} \right)\).
\(ABCD\) là hình thang cân nên \(KB = \dfrac{{AB - CD}}{2} = \dfrac{a}{2}\)
Tam giác \(KBC\) vuông tại \(K\) nên \(KC = \sqrt {B{C^2} - K{B^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{1}{2}a} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)
Tam giác \(AKC\) vuông tại \(K\) nên \(AC = \sqrt {A{K^2} + K{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 3 a\)
Suy ra \(HC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)
Tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\) có \(\widehat {SCH} = 45^\circ \) nên tam giác \(SHC\) vuông cân tại \(H\). Do đó \(SH = HC = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)
Diện tích hình thang \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}CK.\left( {AB + CD} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a.3a = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\)
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}.\dfrac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{4} = \dfrac{3}{8}{a^3}\)
Chọn D
Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2021-2022
Trường THPT Mai Thúc Loan
Câu hỏi liên quan
-
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là \(\Delta ABC\) với \(AB = 2a,AC = a,\widehat {BAC} = 120^\circ \). Góc giữa \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)
-
Hàm số \(y = \left( {{x^3} - 3x + 3} \right){e^x}\) có đạo hàm là:
-
Một hình đa diện có các mặt là các tam giác. Gọi \(M\) và \(C\) lần lượt là số mặt và số cạnh của hình đã diện đó. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Cho khối chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy là \(2a\), cạnh bên \(3a\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\).
-
Với \(a,b\) là hai số thực dương và \(a \ne 1\), \({\log _{\sqrt a }}\left( {a\sqrt b } \right)\) bằng
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,\) \(AD = 2a,\) \(AA' = 3a\). Thể tích khối nón có đỉnh trùng với tâm của hình chữ nhật \(ABCD\), đường tròn đáy ngoại tiếp hình chữ nhật \(A'B'C'D'\) là
-
Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^{\sqrt 2 }}\) là
-
Điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 2\) là
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\). \(\Delta BCD\) vuông cân tại \(D\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\). Tính theo \(a\) thể tích của tứ diện \(ABCD\).
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA = a\sqrt 6 \) và vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Tính theo \(a\) diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\)
-
Cho hàm số \(y = {\log _2}{x^2}\). Khẳng định nào sau đây là sai?
-
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây.
.png)
Tìm số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = 1\)
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây đúng?
.png)
-
Cho hình nón có chiều cao bằng 4 và bán kính đáy bằng 3. Cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm của đáy một khoảng bằng 2, ta được thiết diện có diện tích bằng
-
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng \(a\sqrt 5 \) và chiều cao bằng \(a\). Thể tích của khối nón đã cho bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật. \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AB = a;AD = 2a\), góc giữa \(SC\) và mặt đáy là \(45^\circ \). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\).
-
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2AD\). Quay hình chữ nhật đã cho quanh \(AD\) và \(AB\) ta được 2 hình trụ tròn xoay có thể tích lần lượt là \({V_1},{V_2}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Tổng độ dài \(l\) tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều có cạnh bằng 2 là:
