Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right).\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10;20} \right]\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 3x - m} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)?\)

A. \(18\)

B. \(17\)

C. \(16\)

D. \(20\)

Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\) :

Ta có: \(y = f\left( {{x^2} + 3x - m} \right) = g\left( x \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right)f'\left( {{x^2} + 3x - m} \right)\)

Để hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;2} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Trên \(\left( {0;2} \right)\) ta có \(2x + 3 > 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Leftrightarrow f'\left( {{x^2} + 3x - m} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + m \ge 1\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + 3x + m \le - 3\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow h\left( x \right) = {x^2} + 3x - 1 \ge - m\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Leftrightarrow - m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} h\left( x \right)\)

Ta có \(h'\left( x \right) = 2x + 3 > 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên

\(\left( {0;2} \right) \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} h\left( x \right) = h\left( 0 \right) = - 1 \Leftrightarrow - m \le - 1 \Leftrightarrow m \ge 1\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow k\left( x \right) = {x^2} + 3x + 3 \le - m\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Leftrightarrow - m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} k\left( x \right)\)

Ta có \(k'\left( x \right) = 2x + 3 > 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên

\(\left( {0;2} \right) \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} k\left( x \right) = k\left( 2 \right) = 13 \Leftrightarrow - m \ge 13 \Leftrightarrow m \le - 13\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le - 13\end{array} \right.\). Kết hợp điều kiện đề bài \( \Leftrightarrow 1 \le m \le 20 \Rightarrow \) Có 20 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài