Cho hàm số \(f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\) và \(g(x)=f\left( \left| f(x) \right|-m \right)\) cùng với x=-1;x=1 là hai điểm cực trị trong nhiều điểm cực trị của hàm số y=g(x). Khi đó số điểm cực trị của hàm y=g(x) là
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 1\) và \(g(x) = f\left( {\left| {f(x)} \right| - m} \right);f( - 1) = - 3;f(1) = - 1;\)
Suy ra \(g'(x) = {\left( {\left| {f(x)} \right|} \right)^\prime }.f'\left( {\left| {f(x)} \right| - m} \right) = \frac{{f(x)f'(x)}}{{\sqrt {{f^2}(x)} }}.f'\left( {\left| {f(x)} \right| - m} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0;x = 2\\ \left| {f(x)} \right| - m = 0\\ \left| {f(x)} \right| - m = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0;x = 2\\ \left| {f(x)} \right| = m\\ \left| {f(x)} \right| = m + 2 \end{array} \right.\)(*)
Mặt khác, \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {a_1} \in \left( { - 1;0} \right) \approx - 0.53,\\ x = {b_1} \in \left( {0;1} \right) \approx 0.65\\ x = {c_1} \in \left( {2;3} \right) \approx 2.8 \end{array} \right.\) nên các điểm \(x = {a_1};x = {b_1};x = {c_1}\) là các điểm cực trị của g(x).
Để hai điểm x = - 1;x = 1 là hai điểm cực trị của hàm số y = g(x) thì hai giá trị x đó phải là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \left| {f(x)} \right| = m\\ \left| {f(x)} \right| = m + 2 \end{array} \right.\\ \left| {f( - 1)} \right| = 3;\left| {f(1)} \right| = 1; \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3\\ m = 1\\ m + 2 = 3\\ m + 2 = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 1\\ m = 1\\ m = 3 \end{array} \right.\)
- Với m = 3 thì suy ra \(\left[ \begin{array}{l} \left| {f(x)} \right| = 3\\ \left| {f(x)} \right| = 5 \end{array} \right.\), tới đây ta nhận thấy hệ phương trình trên không có nghiệm x = - 1;x = 1 nên ta loại
- Với m = -1 thì suy ra \(\left[ \begin{array}{l} \left| {f(x)} \right| = - 1\\ \left| {f(x)} \right| = 1 \end{array} \right.\), tới đây ta nhận thấy hệ phương trình kia không có nghiệm x = -1 nên ta loại
- Với m = 1 thì suy ra \(\left[ \begin{array}{l} \left| {f(x)} \right| = 1\\ \left| {f(x)} \right| = 3 \end{array} \right.\). Do hệ phương trình này có hai nghiệm x = - 1;x = 1 nên hệ phương trình tương đương với (dựa vào đồ thị hình bên)
.jpg.png)
Suy ra \(\left[ \begin{array}{l} x = a \in \left( { - 1;0} \right)\\ x = 0\\ x = 1\\ x = b \in \left( {2;3} \right)\\ x = 3\\ x = - 1\\ x = 2\\ x = c \in \left( {3,4} \right) \end{array} \right.\). Do x = 0,x = 2 là nghiệm bội chẵn nên \(\left[ \begin{array}{l} x = a \in \left( { - 1;0} \right)\\ x = 1\\ x = b \in \left( {2;3} \right)\\ x = 3\\ x = - 1\\ x = c \in \left( {3,4} \right) \end{array} \right.\) là 6 nghiệm bội lẻ.
Như vậy hệ phương trình (*) có tổng cộng 11 nghiệm tương đương với hàm số y = g(x) có 11 điểm cực trị thỏa đề bài.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Diệu lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\sin 3x\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M(3;6) biểu diễn của số phức nào sau đây?
-
Tích phân \(\int\limits_0^1 {\left( {4{x^3} + 1} \right)} {\rm{d}}x\) bằng
-
Số phức liên hợp của số phức \(z={{(2+i)}^{2}}\) là số phức
-
Cho \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=-5, \int\limits_{1}^{3}{\left[ f\left( x \right)-2g\left( x \right) \right]\text{d}x}=9\). Tính \(\int\limits_{1}^{3}{g\left( x \right)\text{d}x}\).
-
Số nghiệm của phương trình \({3^{{x^2} - 2x}} = 1\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( 1;-2;1 \right)\) và \(B\left( 0;1;3 \right)\) phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau
.png)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Có tất cả bao nhiêu cặp giá trị thực \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({{3}^{\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|-{{\log }_{3}}5}}={{5}^{-\left( y+4 \right)}}\) và \(4\left| y \right|-\left| y-1 \right|+{{\left( y+3 \right)}^{2}}\le 8\)?
-
Tìm nghiệm của bất phương trình: \({2^{{x^2} - x + 8}} < {4^{1 - 3x}}\)
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1+3i,\ {{z}_{2}}=3-i\). Phần thực của số phức \({{z}_{1}}+2{{z}_{2}}\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-2z-1=0\), \(\left( Q \right):2x+2y-4z+7=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}\). Đường thẳng \(\Delta \) cách đều hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d có phương trình là:
-
Cho hàm số \(y={{x}^{2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\), biết rằng tồn tại hai điểm A,B thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến tại A,B và đường thẳng vuông góc với hai tiếp tuyến tại A,B tạo thành một hình chữ nhật \(\left( H \right)\) có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi \({{S}_{1}}\) là diện tích giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và hai tiếp tuyến, \(S{{}_{2}}\) là diện tích hình chữ nhật \(\left( H \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\)?
-
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên dưới?
.jpg.png)
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;3;-4) và \(\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}\). Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh a. Gọi \(\alpha \) là góc giữa \({A}'C\) và \(\left( AD{D}'{A}' \right)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Một hình lập phương có cạnh bằng 3. Thể tích của lập phương là bao nhiêu?
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=-2, {{u}_{6}}=8\). Tìm công sai d của cấp số cộng đó.
-
Cho \(\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx=3}\) và \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( 2x \right)dx=4}\). Tính \(\int\limits_{0}^{4}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx}\)
